Matematik

Redegør for den fuldstændige løsning til den logistiske differentialligning.

12. juni 2015 af MrHenning (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Har et mundtlig eksamensspørgsmål, der lyder følgende:

"Redegør for den fuldstændige løsning til den logistiske differentialligning.

Redegør for forløbet af mulige løsningskurver og tangenthældninger for disse."

Men er lidt i tvivl omkring fremgangsmåden, fordi jeg skal vel ikke som sådan bevise den fuldstændige løsning, men kun redegøre for den? Bliver det ikke meget kort så? Skal jo holde oplæg i 15 min, så tænker i det meste af indholdet ligger i anden delen?

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. juni 2015 af mathon

I dette korte spørgsmål på 15 min

"Redegør for den fuldstændige løsning til den logistiske differentialligning.

Redegør for forløbet af mulige løsningskurver og tangenthældninger for disse."

skal alle enkeltheder på A-niveau naturligvis med:

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=a\cdot y\cdot (M-y)\; \; \; \; \; \; a,M\in R_+\; \wedge \; 0<y<M$

her sættes
$y=\frac{1}{u}$
hvoraf
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{-1}{u^2}\cdot u{\, }'=a\cdot \frac{1}{u}\cdot \left ( M-\frac{1}{u} \right )$

$u{\, }'= -a\left ( Mu-1 \right )=-aMu+a$

$u{\, }'+aMu=a$ som løst med panserformlen
giver:
$u=\frac{1}{M}+C_1\cdot e^{-aMx}=\frac{1+MC_1\cdot e^{-aMx}}{M}=\frac{1+C\cdot e^{-aMx}}{M}$

$y=\frac{1}{u}\Leftrightarrow u=\frac{1}{y}$

$\frac{1}{y}=\frac{1+C\cdot e^{-aMx}}{M}$

$y(x)=\frac{M}{1+C\cdot e^{-aMx}}$

Skriv et svar til: Redegør for den fuldstændige løsning til den logistiske differentialligning.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.