Matematik

Vis f må være polynomim af grad højst 1. Hel og holomorf funktion.

21. september 2015 af Drizzla (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Opgave: Om en hel funktion f vides at $\left | f(z) \right | \leqslant \left | z \right |ln(\left | z \right |) \forall z \epsilon \mathbb{C}$ med $\left | z \right |\geq 2$ . Vis, at f må være et polynomium af grad højest 1.

Jeg har forsøgt:

Da f er en hel funktion gælder: $f(z) = \sum_{0}^{\infty} (f^n(0)/n!)*z^n$ for $z \epsilon K(0,\rho)$ .

dvs. f er sin egen taylorrække omkring 0.

Ved Cauchy's integral theorem: (Jeg vil vise at den anden afledte af f er lig 0, dette vil medføre at alle afledte n+2, n et naturligt tal, må være lig 0. På den måde ses at taylorrækken højest består af sine 2 første led, hvormed f er et pol af grad højest 1)?

$\left \| f^{}'{}'(z) \right \| = \left \| \frac{2}{2\pi} I \int_{\partial K(0,r)}^{} f(z)/z^3dz \right \|\leq \frac{2|r|ln|r|}{r^2} = 2\frac{ln(r)}{r} \rightarrow 0, r\rightarrow \infty$

Men! Jeg er i tvivl om hvad det har af betydning at $[\left | z \right |\geq 2]$ , hvad sker der så når modulus af z er mindre end 2? Skal jeg sørge for andet end at antage |z| = r > 2? Hvormed ovenstående stadig gælder?

På forhånd tak til enhver der kan hjælpe med lidt konstruktiv kritik :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. september 2015 af peter lind

Hvis du tillader |z|=1 vil du få at |f(z)|≤ 0. Den betingelse er kun opfyldt for f(z)=0 når f(z) er holomorf. Det bliver så en hel anden opgave, og det vil opgavestilleren nok bare undgå.

Hvad er en hel funktion ? Jeg kan ikke mindes, at have hørt det begreb før.

Svar #2
22. september 2015 af Drizzla (Slettet)

Dansk version af "entire function".

Tak for svaret.

Skriv et svar til: Vis f må være polynomim af grad højst 1. Hel og holomorf funktion.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.