Matematik

Bestemmelse af differentialkvotient

24. september 2015 af Tila91 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har funktionen $f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-2}$

og skal nu bestemme differentialkvotienten f'(x) .

er det bare at differentiere den eller hvad er det nu det betyder, differentialkvotient?

Brugbart svar (1)

Svar #1
24. september 2015 af mathon

Differentialkvotient er "det der kommer ud af det", når du differentierer.

Svar #2
24. september 2015 af Tila91 (Slettet)

Ja okay.

Hvordan differentierer jeg den?

Skal jeg bare benytte $h(x)=\frac{f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)}{(g(x))^{2}}$

Eller hvordan gør jeg?

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. september 2015 af mathon

$f(x)=\frac{1}{x^2-x-2}\; \; \; \; \; x\notin \{-1,2\}$

u=x^2-x-2 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=2x-1$

$f(u)=\frac{1}{u}\; \; \; \; u\neq0$

$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} u}\cdot\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{-1}{u^2}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{-1}{x^2-x-2}\cdot (2x-1)=\frac{2x-1}{x^2-x-2}$

Svar #4
24. september 2015 af Tila91 (Slettet)

hmm det ligner lidt substitution metoden du benytter der, men den kender jeg kun fra integration

Brugbart svar (0)

Svar #5
24. september 2015 af mathon

korrektion:
$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} u}\cdot\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{-1}{u^2}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{-1}{(x^2-x-2)^2}\cdot (2x-1)=\mathbf{\color{Red} -}\frac{2x-1}{(x^2-x-2)^2}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
24. september 2015 af mathon

eller noteret

$f(x)=\frac{1}{x^{2}-x-2}\; \; \; \; x\notin\{-1,2\}$

f(x)=g(h(x))=g(y)

$f{\, }'(x)=g{\, }'(h(x))\cdot h{\, }'(x)=g{\, }'(y)\cdot y{}'$
som med

y=h(x)=x^2-x-2 $y{\, }'=h{\, }'(x)=2x-1$

$g(y)=\frac{1}{y}$ $g{\, }'(y)=\frac{-1}{y^2}=\frac{-1}{(x^2-x-2)^2}$

giver
$f{\, }'(x)=g{\, }'(h(x))\cdot h{\, }'(x)=g{\, }'(y)\cdot y{}'=\frac{-1}{y^2}\cdot y{\, }'=\frac{-1}{(x^2-x-2)^2}\cdot (2x-1)=$

$-\frac{2x-1}{(x^2-x-2)^2}$

Svar #7
24. september 2015 af Tila91 (Slettet)

Ah ja. Nu forstår jeg det.

Tak for hjælpen mathon

Skriv et svar til: Bestemmelse af differentialkvotient

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.