patiel integration 2

den anden side

Du ved, at    Γ(a) = ∫_(0,∞) t^a-1exp(-t) dt. Benyt to nyttige formler

    Γ(n) = (n - 1)! for alle n ∈ N og

    Γ(2λ) = 2^2λ-1π^-1/2Γ(λ)Γ(λ + (1/2)) for alle λ ∈ R⁺.

Til #0, har vi    ∫_(0,∞) t^3/2exp(-t) dt = Γ(5/2), og ved at sætte λ = 2, giver

     Γ(4) = 2³π^-1/2Γ(2)Γ(5/2)    ⇔

     Γ(5/2) = (π^1/2 / 2³) (Γ(4) / Γ(2)) = (π^1/2 / 2³) ((4 - 1)! / (2 - 1)!) = (3/4) π^1/2.

Det vil sige, at    ∫_(0,∞) t^3/2exp(-t) dt = (3/4) π^1/2   (tjek selv WolframAlpha).

Til #1, har vi    ∫_(0,∞) t exp(-t) dt = Γ(2) = (2 - 1)! = 1.

tak det var sgu egentlig ret nyttigt, men vil gerne prøve at regne den ud med partiel integration. Allahu ekbar

#3     Til #0, har du ikke regnet det rigtigt ud. Det er kun lettere at regne den ud med Partiel Integration, hvis  a = 2, altså ∫_(0,∞) t exp(-t) dt. Det bliver for svært at regne det ud, hvis a ∉ N, da resultatet vil indeholde pi. Hvis man ved hvad en Gamma funktion er, så er det endnu lettere at bruge identiteter for at svare på det.