Matematik

Tjek konkave konveks

28. oktober 2015 af DavidJac - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg sidder og døjer med en funktion hvor jeg skal insætte i for at tjekke om en ligning er konkave, konveks, strikt konkave eller strikt konveks.

Her er funktionen jeg skal indsætte i:

Her er min opgave:

a) Tjek om funktionen z=x^2

er konkave, konveks, strikt konkave, eller strikt konveks.

Jeg forsøger nu at regne. Jeg finder først mine u og v funktioner. Disse er åbenlyst:

f(u)=u^2

f(v)=v^2

Men hvordan indsætter jeg så dem i den angivne funktion øverst? Jeg ved at jeg skal trække højresiden fra venstresiden i funktionen for derved at finde om den er konkave, konveks osv., men hvordan indsættes det og reduceres det?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. oktober 2015 af Therk

"Funktionen" nævnt er ikke en funktion, men et udtryk, hvor relationen er pt. ukendt og ønskes findes. Du har:

$\theta f(u) + (1-\theta)f(v) \stackrel{?}= \color{blue} f(\theta u +(1-\theta)v)$

og kan indsætte din funktion:

$\theta u^2+ (1-\theta)v^2 \stackrel{?}=\color{blue} (\theta u +(1-\theta)v)^2$

Gang højre side ud:

$\theta u^2+ (1-\theta)v^2 \stackrel{?}= \color{blue} \theta^2u^2 + (1-\theta)^2v^2 + 2\theta(1-\theta)uv$

Du kan selv fortsætte herfra.

Uanset relationen må du gerne trække fra og lægge til på begge sider. Du skal dog være påpasselig med at dividere og multiplicere med noget, der er negativt, da det ændrer uligheders retning, skulle du ende med en ulighed (hint: Det gør du).

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Du kan dog også bruge at en funktion er (strengt) konkav, hvis den dobbeltafledte er (strengt) negativ og (strengt) konveks, hvis den dobbeltafledte er (strengt) positiv. ()

Svar #2
28. oktober 2015 af DavidJac

Tak! Dog siger min bog dog at jeg skal trække højresiden fra venstre siden og ikke have et ligemed tegn imellem dem.

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. oktober 2015 af Therk

Det ville jeg også gøre. Tegnet $\stackrel ?=$ skal ikke læses som et lighedstegn, men et tegn, der viser relationsuvished. Nogle gange ses det også som . Du brugte selv symbolet:

$\begin{Bmatrix} \leq \\ \geq \end{Bmatrix}$

Der er altså ingen lighedstegn i #1.

Svar #4
28. oktober 2015 af DavidJac

Så det jeg skal gøre er at putte en parentes om både venstre siden og højresiden også trække højresiden fra venstresiden?

Sådan her?

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. oktober 2015 af Therk

Det er enormt vigtigt at du bevarer dit relationstegn - det er netop meningen at du skal finde tegnet og intet andet! Hvis du trækker højresiden fra på begge sider får du

$\theta u^2+ (1-\theta)v^2 - (\color{blue} \theta^2u^2 + (1-\theta)^2v^2 + 2\theta(1-\theta)uv \color{black})\stackrel{?}= 0$

Du skal nu blot finde ud af om dit ovenstående udtryk er større end, mindre end eller lig med 0 og om den eventuelle lighed er skarp.

Svar #6
28. oktober 2015 af DavidJac

Så jeg behøver ikke beregne mere en det overstående der? jamen ud fra dets indhold er det større end nul da u ikke er ligemed v. Så den er strikt konveks?

Svar #7
28. oktober 2015 af DavidJac

Jeg kan ikke reducere det til mere end:

Men det er jo også større end nul, så behøver jeg at reducere mere? Kan ikke umiddelbart se hvordan dette begreb skal kunne blive reduceret yderligere.

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. oktober 2015 af Therk

Du bør nok simplificere udtrykket på en sådan måde at du kan overbevise din læser om at udtrykket er positivt. Der er elementer med negative fortegn, så du bliver nødt til at finde ud af om de positve led er større end de negative for at kunne konkludere at udtrykket er større end nul.

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. oktober 2015 af Therk

Med papir og blyant har jeg reduceret det til

$\theta(1-\theta) (u-v)^2$

som vi nemt kan overbevise os selv om er positivt ved følgende notation:

$\underbrace{\theta}_{>0}\underbrace{(1-\theta)}_{>0} \underbrace{(u-v)^2}_{>0}$

siden .

Brugbart svar (0)

Svar #10
28. oktober 2015 af Therk

Derudover bliver du nødt til at læse #5 igen - du har et lighedstegn i #7 og det er forkert (eller leder dig i hvert fald til en modstrid).

Svar #11
28. oktober 2015 af DavidJac

Hej igen og mange tak. Jeg har fundet en fejl. Jeg har kommet til at sætte et forkert fortegn da jeg opbryd en parentes. Har du stadig ikke resultatet endnu.. Kommer tilbage on lidt

Svar #12
28. oktober 2015 af DavidJac

Jeg har -θ tegn for meget, men kan ikke se hvorfor.. Har en regnefejl tilbage som jeg ikke kan finde.

Brugbart svar (0)

Svar #13
28. oktober 2015 af Therk

Du har gjort det rigtigt. Husk at

$\theta \in (0,1) \Rightarrow \theta-1 <0$

Da er

$\underbrace{-\theta}_{<0} \underbrace{(\theta-1)}_{<0} >0$

("minus gange minus er positivt")

og du har at venstresiden er strengt positiv.

Du bruger stadig lig med (=). Benyt et eller andet andet tegn som indikerer at du ønsker at finde operatoreren.

Svar #14
28. oktober 2015 af DavidJac

Tak!... Endelig jeg fået det rigtige.. Jeg takker dig mange gange =)

Skriv et svar til: Tjek konkave konveks

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.