Areal af OPQ

Funktionen er: . I opgave a) har du fundet arealet af trekanten som funktion af x, det får jeg til:

 .

Da vi gerne vi finde x der giver anledning til det største areal, differentierer vi arealfunktionen og sætter den lige med 0:

. Det er altså et andengradspolynomium, og i rødderne til dette vil der enten være et lokalt maksimum eller minimum af A(x). Løs ligningen og husk på at du kun er interesseret i 0<x<4.

Mange tak for din tid.

Må dog erkende at jeg ikke forstår den første del. Kan du forklare hvordan du kommer frem det ?

mvh

Ja, selvfølgelig, jeg kan i hvert fald prøve :)

For at finde arealt af trekanten som funktion af x kigger vi først på tegningen i opgaven. Husk at en retvinklet trekants areal kan regnes som længde gange højde divideret med 2. I vores tilfælde vil længden være den del af trekanten som ligger på x-aksen, altså er længden =x (da trekanten begynder i (0,0)), Og højden kan vi se bliver til funktionsværdien i x altså f(x). Så hvis vi sætter det ind i formlen for arealet af en trekant får vi:

Det er altså et udtryk for arealet som afhænger af x, man kan altså sætte specifikke x-værdier ind, og så får man arealet for trekanten ved dette x!

Giver det mening?

Okay så tror det det fordi jeg misforstod den måde du havde skrevet det op på. jeg har nemlig skrevet det på denne måde ;)

a)
Jeg har en forskrift først som hedder: f(x):=−x^(2)+4*x ? Udført
Jeg har en formel til at finde arealet som er: ((1)/(2))*h*g Jeg skal bestemme arealet af trekanten når x = 1. Jeg har grund linjen og højde på trekanten i form af:
g = 1 da forskellen fra punktet O(0,0) til Q(1,0) er 1.
h = f(1) ? 3. Jeg ved y kordinatet til punktet P er f(1) derfor er højden 3.
Nu kan jeg finde arealet: ½*3*1 ? 1.5 Arealet af OPQ er derfor 1,5

men så er hele spørgsmål a besvaret?

mvh

Ja, det er helt korrekt. Men du bliver også nød til at generalisere det til andre værdier af x end 1 :)
Og det gør du på præcis samme måde, nu får du bare at:

g=x, da længden fra =O(0,0) til Q(x,0) er x. og h=f(x). Det skriver du så ud, og får arealet som funktion af x:

A(x)=-(1/2)*x³+2*x², det er altså et generelt udtryk som fås ved samme fremgangsmåde som din, som besvarer 2. del af opg. a) og som man skal bruge i b)

okay mange tak den første del gir mening nu.

Men hvordan kommer du så videre til mere bestem hvordan har du fundet frem til den forskrift?

fra de

Ideen er at nu har vi arealet som en funktion A(x)=-(1/2)x³+2x² (du kan eventuelt prøve at tegne den). Vi vil gerne finde det x mellem 0 og 4 sådan at A(x) bliver så stor som mulig. Vi ved at extrema punkter findes ved at differentiere og sætte lige med 0. Vi vil altså gerne finde A'(x), så vi differentierer ved hjælp af reglen at for f(x)=a*xⁿ er f'(x)=n*a*x^n-1, så:

.

Tusind tak for hjælpen, det stadig lidt svært at forstå, men mon ikke læren kan forklare det :-)

Det tror jeg helt bestemt! :)