Matematik

Opstil Fourierrækken på kompleks form ud af a_n og b_n

21. november 2015 af asdfgqwert (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Om en 2-Pi periodisk, stykkevis differentiabel og kontinuert funktion f: R->R oplyses at Fourierkoefficienterne er givet ved

a_n=0 for alle n og b_n= $\tfrac{1}{n^3}$ for alle naturlige tal

Opgaven er så at opstille Fourierrækken på kompleks form.

Jeg har anvendt at c₀=½*a₀, c_n=½*(a_n-i*b_n) og c_-n=½*(a_n+i*b_n₎
Derved har jeg fået at
c₀=0
$c_n=-\tfrac{I}{2*n^3}$
$c_{-n}=\tfrac{I}{2*n^3}$

Mit problem er så at jeg er i tvivl om hvordan Fourierrækken så skal opskrives.
Jeg ved selvfølgelig at "indmaden" i summen er $c_n*e^{i*n*x}}$ , men da jeg har 3 forskellige c_n bliver jeg så nød til at opdele fourierrækken i en sum fra -uendelig til -1 og en sum fra 1 til uendelig?

Altså $f(x)=\sum_{-inf}^{-1} \frac{I}{2*n^3}*e^{i*n*x}+\sum_{1}^{inf} -\frac{I}{2*n^3}*e^{i*n*x}$
Er dette korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. november 2015 af Therk

Stjernen du bruger som din gangeoperator bruges normalt ikke som en gangeoperator, men som en foldningsoperator, den kompleks konjugerede m.fl. Vær derfor opmærksom på at dit brug af den som gangeoperator skaber forvirring, især når du netop kompleks konjugerer i ovenstående for at finde for n < 0.

Som gangeoperator bruges gerne en midtercentreret dot (·) eller sjældent et kryds (×). Sidstnævnte skal dog igen bruges med forsigtighed, da det nemt ligner variablen x.

I LaTeX får man gangeoperatoren (·) ved \cdot.

Du kan i øvrigt ikke summere fra minus uendelig, da du ikke kan starte summen. Men det behøves heldigvis ikke, se herunder.

$\rule{7cm}{0.4}$

Du skal huske at

, den kompleks konjugerede for n < 0, dvs.

$c_n = \begin{cases} -\dfrac{i}{2n^3}, & n >0, \\ 0, & n = 0,\\ \dfrac{i}{2\lvert n\lvert ^3}, & n < 0.\end{cases}$

Derfor er din sum for negative n forkert - den skal i stedet blot være for n positiv! Derfor

$f(x) = \underbrace{\sum_{n = 1}^\infty \frac{i}{2n^3}\, \overbrace{e^{-inx}}^{(1)}}_{ (2)\quad n<0} + \underbrace{\sum_{n = 1}^\infty \frac{-i}{2n^3} e^{inx}}_{(3)\quad n>0}$

Herunder en uddybning af (1), (2) og (3):

(1) Husk at dette led er taget for n<0, men vi summerer positive n, derfor vendes fortegnet i eksponentialet:

$e^{ikx}=e^{-inx}, \quad \text{for } -k = n.$

(2) Den sum er summen hvor n < 0, dvs. vi har indsat det nederste case fra definitionen af c_n.

(3) Den positive sum. Vi kan evt. tage minustegnet ud foran.

Skriv et svar til: Opstil Fourierrækken på kompleks form ud af a_n og b_n

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.