Matematik

2. ordens diff. ligning

04. december 2015 af zuxuz89 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej.
Jeg står med en opgave hvor jeg skal redegøre for, hvordan man løser en andenordens diff.ligning af formen y''+c*y=0. Helt specifikt vil jeg gerne kigge på typen y''=-c^2*y. Tænker umiddelbart, at fortælle den fuldstændige løsning til y''=-c^2*y, og bevise hvorledes det er en løsning ved at tage udgangspunkt i y''+c*y=0.

Min usikkerhed går dog på, at jeg ikke ved hvorvidt det skal gribes an, og kan ikke finde noget om det i matematik bogen, hvilket jeg synes er spøjst. Generelt antages det vel at konstanten er forskellig fra 0 i typen y''=-c^2*y, men stemmer dette så overens med at tage udgangspunkt i y''+c*y=0. Og vil y''+c*y=0 eller y''=-c^2*y også kunne skrives på formen y''=c*y?

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. december 2015 af mathon

$y{\, }''+cy=0$ som for c>0
giver
$y{\, }''=-\omega ^2\cdot y\; \; \; \; \; \; \omega ^2=c$

Svar #2
04. december 2015 af zuxuz89 (Slettet)

#1
Ja, det var også min umiddelbare tanke. Problemet går mere på, at når jeg søger på nettet efter beviser for 2. ordens diff ligninger kommer der som oftest typen y''=ky, hvor de så skriver om typen y''=-k^2*y, som var det den samme. Jævnfør f.eks. http://www.matlex.dk/difflign.html nederst på siden.

Er derfor i tvivl om hvordan beviset for y''=-c^2*y skal opstilles og forklares med udgangspunkt i y''+cy=0. Håber det giver mening

edit: ville man kunne tage udgangspunkt i noget som 1.3 her http://alsholm.dk/people/P.K.Alsholm/01906/Beamer/Artikel/uge08article.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. december 2015 af mathon

Er c positiv eller negativ?

Svar #4
04. december 2015 af zuxuz89 (Slettet)

Spørgsmålet går på at redegøre for, hvordan man løser en andenordens diff.ligning af formen y''+c*y=0, men vil gerne omskrive den, så den kommer til at se ud som y''=-c^2*y, da det kommer til fordel, npr jeg senere skal skrive om schrødingerligningen.
Omskrevet må c vel kun være negativ. Det er dog også her jeg liver lidt forvirret, for står der ikke noget andet på det første link i den forrige besked?

Er y''+c*y=0 ikke også homogen, hvorimod y''=-c^2*y hvor c er forskellig fra 0 er inhomogen

Skulle gerne komme frem til at en fuldstædig løsning kan være f(x)=c1*f1(x)+c2*f2(x)

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. december 2015 af mathon

Er c positiv
gælder:

$y{\, }''+cy=0$

Karakterligningen
er:
r^2+c=0
med løsningen

$r=\pm \sqrt{-c}$

$r=\pm i\cdot \sqrt{c}$
med den fuldstændige
løsning:

$y(x)=c_1\cos(\sqrt{c}\cdot x)+c_2\sin(\sqrt{c}\cdot x)$

Svar #6
04. december 2015 af zuxuz89 (Slettet)

Vil man kunne omskrive y''+ky=0, eller y''=-k^2*y til y''=a*y hvor a er i^2*k^2 ?

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. december 2015 af mathon

$y{\, }''+k\cdot y=0$

$y{\, }''=-\left (\sqrt{k} \right )^2\cdot y$

Brugbart svar (0)

Svar #8
05. december 2015 af ChenYing (Slettet)

Skriv et svar til: 2. ordens diff. ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.