Matematik

L'Hopitals regel

03. januar 2016 af Dudi22 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal udregne følgende grænseværdi (se vedhæftede billede).

Det er klart, at jeg skal bruge L'Hopitals regel, hvilket jeg gør og får:

lim (x->0) (tan^2(x))/(3x^2)

Vi bliver nødt til at benytte LHopitals regel nok en gang, men jeg ved ikke hvordan jeg skal differentiere tan^2(x). Kan I hjælpe?

WA siger "2 sec^2(x) tan(x)", men problemet er, at "sec" ikke indgår i pensum, så tænker, der må være en anden løsning?

Vedhæftet fil: mat54.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. januar 2016 af mathon

$\left (\tan^2(x) \right ){}'=2\tan(x)\cdot (1+\tan^2(x))=2\tan^3(x)+2\tan(x)$

Svar #2
03. januar 2016 af Dudi22 (Slettet)

Mange tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. januar 2016 af Soeffi

#0 Benyt evt.: tan(x) ≈ x for x ≈ 0. Dermed får du :

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{[tan(x)]^2}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{[x]^2}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{3}=\underline{\underline{\frac{1}{3}}}$

Svar #4
03. januar 2016 af Dudi22 (Slettet)

Er den gangbar som løsning, tror du?

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. januar 2016 af Soeffi

#4 Er den gangbar som løsning, tror du?

Har du din lærers emailadresse?

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. januar 2016 af Therk

Du kan godt benytte fremgangsmåden i #3, men undlad at bruge limes-notation i det tilfælde, fordi med den ikke viser hvordan det asymptotiske resultat fremkommer, den giver kun resultatet. I fald at du vil løse opgaven sådan, skriver vi

$\frac{(\tan x)^2}{3x^2} \sim \frac{x^2}{3x^2} =\frac 13, \quad x \to 0$

Når du først har lært at genkende funktioners asymptotiske værdier, så kan grænseværdier findes meget nemmere end evt. at skulle differentiere tæller og nævner 2-3 gange. At løse opgaven på den måde kræver selvfølgelig at du enten 1) har lært at eller 2) selv viser det ved fx en Taylorudvikling.

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. januar 2016 af AskTheAfghan

Der skal være - tan²(x) i tælleren. Sæt f(x) = x - tan(x) og g(x) = x³.

Vi ser, at f '(x) = 1 - 1/cos²(x), så f⁽³⁾(x) = -2(2sin²(x) + 1)/cos⁴(x).

Derved fås lim _{x → 0} f(x) / g(x) = lim _{x → 0} f⁽³⁾(x)/g⁽³⁾(x)

= - lim _{x → 0} (2sin²(x) + 1)/(3cos⁴(x)).

Skriv et svar til: L'Hopitals regel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.