En funktion f er givet ved f(x)=ln(x)-1/2x+5 ; x > 0

Hvad volder problemer? Differentieringen eller monotoniforhold?

En funktion f er givet ved 

         f(x)=ln(x)-1/2x+5 ; x > 0

Bestem f´(x), og bestem monotoniforholdene for f.

Funktionen differentieres

Vi sætter f'(x) = 0 og finder dermed nulpunkter.

Vi undersøger intervallet mellem nulpunkter og restriktioner; ]0,2] og [2,∞[

                   ]0,2]               2               [2,∞[
f'(x)          f'(1) = 0,5          0           f'(3) = -(1/6)
mon.              /                  0                    \
               voksende      gl. maks.      aftagende

Dvs.

f'(x) > 0 i intervallet ]0,2]
f'(x) < 0 i intervallet [2,∞[
Globalt maksimum i punktet P(2,f(2))

Til en anden gang, da ville det være rart at se din fremgangsmåde, så man hurtigt ville kunne finde ud af hvor problemet opstår og dermed forsøge at hjælpe dig igennem problemet... Svaret jeg har givet er af hensyn til andre der måtte have svært ved spørgsmål der ligner. Derfor, hvis du kun er ude efter svaret, så se bort fra denne her...

(Lyn rettelse til #2)

Vi undersøger intervallet mellem nulpunkter og restriktioner; ]0,2] og [2,∞[

Du mener nok ]0, 2[ og ]2 , ∞[. Idet f '(2) = 0, ønskes der at undersøge opførslen af f '(x) på R_>0\{2}.

Ud fra din analyse, konkluderer vi, at f '(x) > 0 og f '(x) < 0 på hhv. ]0, 2[ og ]2 , ∞[. Man kan ellers godt skrive f '(x) ≥ 0 på ]0, 2] og f '(x) ≤ 0 på [2, ∞[, men det virker ikke så interessant i dette tilfælde.