Matematik

Hjælp til grænsen af funktionerne

16. februar 2016 af Jegharbrugforhjælpp - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal undersøge funktionerne

f(x)=x-\log (\cosh(x))) \quad \text{for} \quad x \rightarrow \infty \\ f(x)=\frac{1-\tanh(x))}{e^{-2x}} \quad \text{for} \quad x \rightarrow \infty \\ f(x)=\frac{1}{\cosh(x)}+\log\left(\frac{\cosh(x)}{1+\cosh(x)} \right ) \quad \text{for} \quad x \rightarrow \pm \infty

Jeg har prøvet at skrive de forskellige led ud, men jeg ved ikke hvad jeg skal gøre med \log(e^x + e^{-x}). Kan nogen hjælpe mig?


Svar #1
16. februar 2016 af Jegharbrugforhjælpp

Og vi må ikke bruge differentiering, da vi ikke er nået dertil endnu. Vi må kun anvende grænseovergange, kontinuitet samt diverse uligheder man kender.


Brugbart svar (0)

Svar #2
16. februar 2016 af peter lind

log(ex+e-x) = log(ex(1+e-2x) = log(ex)+log(1+e-2x) = x+log(1+e-2x)

Det lyder mærkeligt at du i 3. g endnu ikke har lært om differentiering


Svar #3
16. februar 2016 af Jegharbrugforhjælpp

Jeg har lært at differentiere. Det er et fag på universitetet, hvor vi ikke må differentiere, da vi ikke har vist det endnu.
Kan heller finde frem til grænsen af funktion 3. Jeg har lavet følgende:

f(x) = \frac{1}{cosh(x)}+log(\frac{cosh(x)}{1+cosh(x))}) = \frac{2}{e^x+e^{-x}} + log(e^x(1-e^{-2x}))-log(2+e^x+e^{-x}) 

Har sprunget nogle steps over her i denne udregning. Kan ikke rigtig sige noget om grænsen for denne. 


Brugbart svar (0)

Svar #4
16. februar 2016 af peter lind

I dit mellemste led gør som i mit svar i #2 log(ex(1+e-2x) = log(ex)+log(1+e-2x)  NB du har vist en fortegnsfejl der.

I det sidste led kan du på samem måde sætte ex ud foran en parentes.

For x -> -∞ dur metoden ikke. Der skal du i stedet sætte e-2x ud foran det hele


Brugbart svar (0)

Svar #5
16. februar 2016 af peter lind

Du kan slippe nemmere fra tilfældet med x -> -∞ ved at konstatere at f(x) = f(-x)


Brugbart svar (1)

Svar #6
16. februar 2016 af Soeffi

#0

a)\;f(x)=x-log(cosh(x))=x-log(\frac{e^x+e^{-x}}{2})

For x → ∞ vil leddet ex dominere og man får :

f(x)\rightarrow x-log(\frac{e^x}{2})=x-x+log(2)=log(2)

\\b)\;f(x)=\frac{1-\tanh(x))}{e^{-2x}} =\frac{1-\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}{e^{-2x}}=\frac{2}{1+e^{-2x}}

For x → ∞ vil leddet 1 dominere i nævneren og man får :

f(x)\rightarrow 2

c)\;f(x)=\frac{1}{\cosh(x)}+\log\left(\frac{\cosh(x)}{1+\cosh(x)} \right ) \rightarrow 0+\log\left(1 \right )=0 \text{ for x} \rightarrow \pm \infty

Dette skyldes at nævneren går mod uendelig i første led og at cosh(x) dominerer over 1 i nævneren i det andet.


Brugbart svar (0)

Svar #7
16. februar 2016 af Therk

\log(e^x + e^{-x}) \sim \log(e^x), \quad x\to \infty

da

e^{-x} \to 0, \quad x\to \infty

Med "\sim" menes "er asymptotisk lig med".


Brugbart svar (0)

Svar #8
20. februar 2016 af SuperManBat

mange tak for hjælpen 


Brugbart svar (0)

Svar #9
16. februar kl. 21:02 af Herstall

hvordan ville i regne følgende ud:

f(x)=log(sinh(x^2)-x^2)

er lidt usikker på hvordan jeg skal omskrive sinhx da den ikke står direkte som sinhx men sådan lidt mærkeligt som sinh(x^2)-x^2


Brugbart svar (1)

Svar #10
16. februar kl. 23:32 af peter lind

sinh(u) ≈ ½eu for  stor og eu -u ≈ eu for u stor så ln(sinh(x2)-x2) = ln(sinh(u) -u)≈ ½u så f(x)-> ∞ for x-> ∞


Brugbart svar (1)

Svar #11
17. februar kl. 14:29 af peter lind

Undskyld der er en fejl i det sidsteDet skal være ln(sinh(u) -u)≈ u +ln(½) så f(x)-> ∞ for x-> ∞


Brugbart svar (0)

Svar #12
18. februar kl. 22:37 af Herstall

Hvordan viser jeg at f(x) \geq 0  for f(x) = 1/coshx + log (coshx/1+coshx) hvis jeg ikke må differentiere. 


Brugbart svar (0)

Svar #13
19. februar kl. 01:05 af Soeffi

#12. Prøv evt.: 

ln\left ( \frac{cosh(x)}{1+cosh(x)} \right )=-ln\left ( \frac{1}{cosh(x)}+1 \right )

og

0 \leq ln\left ( \frac{1}{cosh(x)}+1 \right ) \leq \frac{1}{cosh(x)}


Skriv et svar til: Hjælp til grænsen af funktionerne

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.