Redegørelse for voksende og aftagende funktioner, arealer, hældningstangent opgaver

Opgave 1

f(x)=3Ln(x)-x³  x>0

Bestem f'(x) og gør rede for, at f har et maksimum

f'(x)=3*1/x-3*x^3-1

f'(x)=3/x-3x²

Alle x-værdier er større end 0. Det forholder sig således, at hvis x er større end 0, så er alle y-værdier for f negative. Da grafen for f er aftagende, så har grafen et maksimum

Opgave 2

En funktion f er givet ved f(x)=x²-10x+30

Grafen for f, koordinatakserne og linjen med ligningen x=10 afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal. Bestem arealet af M

F(x)=1/3*x²⁺¹-1/2*10*x¹⁺¹+30x

F(x)=1/3x³-5x²+30x

10 er den øvre grænse, og 0 er den nedre grænse

A=F(10)-F(0)

F(10)=400/3

F(0)=0

A=400/3-0=400/3=133,33

Arealet er 133,33

Opgave 3

Om tre variable x, y og z oplyses følgende:

z er ligefrem proportional med y med proportionalitetsfaktoren 3,

x og y er omvendt proportionale, og y er 10, når x er 1/2.

Udtryk z ved x

Jeg ved, at z er ligefrem proportional med y og proportonialitetskonstanten er 3. Jeg indsætter i formlen for ligefrem proportionalitet k=z*y

3=z*y

Jeg ved, at y=10 og x=1/2 så jeg indsætter i formlen for omvendt proportionalitet y=k/x

10=k/0,5 →k=5

Jeg indsætter y=k/x i udtrykket for z

3=z*k/x

3=z*5/0,5

3=z*10

z=3/10

Opgave 4

To funktioner f og g er bestemt ved f(x)=x²+4x+10 og g(x)=x+14

Graferne for f og g afgrænser en punktmængde M, der har et areal. a) Bestem arealet af M.

Skærringen med x-aksen kan findes ved f(x)=g(x)

x²+4x+10=x+14

x²+4x+10-x-14=x+14-x-14

x²+3x-4=0

Løser andengradsligningen til x=1 V x=-4

1 er den øvre grænse og -4 er den nedre grænse

F(x)=1/3*x²⁺¹+1/2*3*x¹⁺¹-4x

F(x)=1/3x³-1,5x²-4x

A=F(1)-F(-4)

F(1)=-5 _1/6

F(-4)=-29 1/3

A=-29_1/3-(-5_1/6)=-29_1/3+5_1/6= -131/6

Arealet er 131/6

Da arealet har negativt fortegn, ligger arealet under grafen

Opgave 5

En funktion f er bestemt ved f(x)=x³-3x²+2x

 Det oplyses, at grafen for f har to tangenter med hældningskoefficient 11. Bestem førstekoordinaten til røringspunktet for hver af disse tangenter. 

f'(x) er hældningen af tangenten til punktet x. Vi får at vide, at tangentens hældningstangent er 11, så f'(x)=11

Jeg differentiere f'(x) og sætter lig med 11. Så jeg finder jeg de ønskede x-værdier

f'(x)=3x^3-1-3*2*x^2-1+2=11

f'(x)=3x²-6x+2=11

3x²-6x-9=0

Løser andengradsligningen til x=3 og x=-1

f'(3)=11 og f'(-1)=11

Førstekoordinaterne til røringspunktet for de to tangenter med hældningskoefficienten 11 er 3 og -1

Opgave 6

En funktion er bestemt ved f(x)=x+16/x

Bestem f'(x) og gør rede for at funktionen har et minimum

Benytter (x)'=1 og (1/x)'=-1/x²

f'(x)=1-16/x²    x>0

x er større end 0. Det forholder sig sådan, at når x er større end 0, så er alle y-værdier for f positive. Grafen for f er voksende og har dermed et minimum

Det ville være en stor hjælp, hvis der lige var en behjælpelige sjæl, der lige kunne kigge dem igennem