Matematik

Vis at f er differentiabel i endepunktet a med f′(a) = c ved brug af middelværdisætningen.

06. marts 2016 af SuperManBat - Niveau: Universitet/Videregående

Lad f : [a, b] $\rightarrow \mathbb{R}$ være kontinuert på det afsluttede, begrænsede interval [a.b].Antag endvidere at f er differentiabel på det åbne interval(a,b). Antag at der findes et tal $c \in \mathbb{R}$ så

$f'(x)\rightarrow c \qquad for \ x \ \rightarrow a_{+}$

Vis at f er differentiabel i endepunktet a med f′(a) = c.

Vink: brug middelværdisætningen.

Jeg forstår ikke hvordan man kan bruge middelværdisætningen i denne opgave?

Nogen der kan hjælpe ?

tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. marts 2016 af Therk

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1666538

Svar #2
06. marts 2016 af SuperManBat

jeg forstår ikke Svar #3 - Citér

hvordan skal middelværdisætningen inddrages i Epsilon-delta

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. marts 2016 af VandalS

Når du skal vise differentiabilitet skal du undersøge om der eksisterer en grænse for udtrykket

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

for gående mod nul (i denne opgave oppefra). Du ved umiddelbart ikke noget om denne værdi, men middelværdisætningen er den bro der tillader dig at knytte ovenstående sammen med en værdi for f'(x) , hvilket er en funktion du ved noget om i den her opgave. $\epsilon$ - $\delta$ kommer ind i billedet når du vil formalisere de argumenter der opstår omkring grænseværdierne der optræder i opgaven.

P.S.

Måske er min brug af $\epsilon$ i den anden tråd forvirrende. ville nok have været et bedre valg i den sammenhæng for at skelne mellem de to variable, jeg er bare vant til at bruge $\epsilon$ =)

Svar #4
06. marts 2016 af SuperManBat

Hvad kan man konkludere Udfra udregninger

$\left| f'(x) - c \right| = \left| \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - c \right| < \epsilon \quad for \quad x \in (a,a+\delta)$

$[I = [a,a+\epsilon], \epsilon > 0]$

middelværdisætningen et punkt $[y \in (a,a+\epsilon)]$ således at

$f'(y)=\frac{f(a+\epsilon)-f(a)}{\epsilon}.$

$\epsilon \to 0$

Skriv et svar til: Vis at f er differentiabel i endepunktet a med f′(a) = c ved brug af middelværdisætningen.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.