Matematik

Absolutte kontinuert funktioner - Betingede fordelinger

13. april 2016 af Ronaldo287 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg vil hører om der er nogen der kan hjælpe mig med denne opgave, det drejer sig om spørgsmål 1 og 2.

I spørgsmål 1

Skal man først vise at Y~ e(1) - her tænker jeg at vi skal integrere fX,Y således at vi får funktion fY og her kan vi så se om denne er lig Y~ e(1) ? Men jeg er lidt i tvivl om hvordan vi skal integre denne ? Er det funktion vi skal interere fra (0,uendelig) og (0,y) ? Og så i forhold til x?

Efterfølgende skal vi finde den betingede fordeling ? Hvis vi kan vise at de er uafhængige så gælder det at den har samme fordeling som X er svaret i denne så Fx og hvordan viser vi at de er uafhængige ?

I opgave 2

Skal vi finde den betingede fordeling for XY / Y og vise at de er uafhængige? Samt at XY~e(1). Her skal vi vel bruge at hvis XY/Y = y ikke afhænger af y så er XY og Y uafhængige? Men hvordan gør vi dette ?

Vedhæftet fil: Unavngivet.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. april 2016 af Therk

Ja, du skal integrere i den første opgave - du skal integrere x over alt den lever på. Generelt

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)\, \mathrm dx$

Da x kun lever på den positive halvakse, behøver du kun at integrere derover (integralet af 0 er 0 ...). Genkend den tæthed som tætheden for en standard eksponentiel variabel.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

For at finde den betingede tæthed, skal du bruge at

$f_{X\mid Y}(x\mid y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$

Den er nem at finde, da du lige har fundet f_Y(y).

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. april 2016 af Therk

For den betingede tæthed XY | Y = y kan vi finde den med en simpel sandsynlighedsnotation

$P(XY \leq z \mid Y = y) = P(X\leq z/y\mid Y= y)$

$\rule{7cm}{0.4pt}$

For at finde den simultane fordeling , benyt Kolmogorovs definition af en betinget sandsynlighed på den betingede sandsynlighed herover

$P(XY\leq z, Y= y) = P(XY\leq z \mid Y = y) P(Y\leq y)$

Du kan naturligvis erstatte ovenstående fordelinger med tæthederne.

To stokastiske variable er uafhængige hvis den simultane tæthed kan skrives som produktet af de marginale, dvs.

$XY\perp Y \quad \Leftrightarrow \quad f_{XY,Y}(z,y) = f_{XY}(z)f_Y(y)$

$\rule{7cm}{0.4pt}$

For at finde tætheden af XY, husk at

$P(XY\leq z) = \int_0^\infty P(XY\leq z \mid Y= y) f_Y(y)\, \mathrm dy$

Svar #3
17. april 2016 af Ronaldo287 (Slettet)

Jeg skal altså beregne $[\inline f_{XY,Y}(z,y)]$ og så se om dette giver det samme som $\inline f_{XY}(z)*f_{Y}(y))$ ? Er det korrekt forstået?

Kan du uddybe hvordan jeg finder $\inline f_{XY,Y}(z,y),$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. april 2016 af Therk

Det er korrekt.

Ja. Som nævnt herover gælder der at

$P(XY\leq z, Y= y) = P(XY\leq z \mid Y = y) P(Y\leq y)$

hvilket medfører at

$f_{XY,Y}(z,y) = f_{XY\mid Y }(z\mid y) f_Y(y)$

For den første tæthed på højre side se den første ligning i svar #2. Gang de to tætheder sammen og se om du får noget, som ligner et produkt af de marginale tætheder.

Giver det mening?

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. maj 2016 af Annebanana (Slettet)

Jeg sidder med samme opgave og læser nu op til eksamen. Jeg forstår ikke den nederste ligning i svar 2, hvordan regner du det?

Skriv et svar til: Absolutte kontinuert funktioner - Betingede fordelinger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.