Sandsynlighedsregning, Poisson fordeling

a) Jeg sætter p_t til sandsynligheden for at en uniform (0,1) fordelt stokastisk variabel er mindre end t.  Sandsynligheden for at alle n er mindre end t er p_tⁿ hvis de er uafhængige, 

b) Brug reglen for betingede sandsynligheder P(n=1)p_t¹+P(n=2)*p_t² + P(n=3)p_t³+....

P(n=i) er den angivne poissonfordeling. Det er uklart hvad der sker med n=0. Jeg har sat den til 0.

c) Find hvad ? 

Mange tak for hurtigt svar. Men hvordan kan det være at P(alle X'er<t l N=n) = p_tⁿ?

d) Bestem middelværdien af S_N.

De er jo uafhængige For to uafhængige stokastiske variabel X og Y gælder at P{ X∈A ∧ Y∈B } = P(X∈A )*P{Y∈B}

Det er klart! Tak :-)

Ved du hvad man skal gøre ved de næste 2?

c) Lad S_N = X₁+...+X_N betegne summen af det tilfældige tal af X'er. (Hvis N = 0, så S_N = 0).

Find (S_N = 0). Forklar.

d) Find E(S_N) (Bestem middelværdien af S_N)

Jeg forstår ikke hvad der menes. Find(S_N=0) ???

Som jeg forstår det, så er det at bestemme sandsynligheden for at summen af de tilfældige tal af X'er er lig med nul.

Sandsynligheden for at en kontinuert stokastig variabel har en bestemt værdi er altid 0. så sandsynligheden for at summen er 0 er 0

Okay, men så forstår jeg ikke hvad middelværdien af S_N så vil være?

I forlængelse af #7 skal du huske at S_N=0 hvis N=0, og der er positiv sandsynlighed for at N=0.

En måde at se det på er egentlig bare at benytte sig af opgave b. (da X_n'erne er uniformt fordelt mellem 0 og 1 er p_t=t for t mellem 0 og 1).

P(S_n=0)=P(S_n≤0)=P(X_n≤0 ∀n)=P(n=0)0⁰+P(n=1)0¹+...=P(n=0)=e^-µ

Det giver mening - Tak! Kan du så svare på hvad men vil gøre i forbindelse med at finde middelværdien for S_N?

E(S_N) = E(X₁) +E(X₂)+....  E(X_N)

#9 Den forstår jeg ikke. Hvilken af spørgsmålene  drejer det sig om ?  Du  henviser til S_N, som først er defineret i  c men bruger poissonfordelingen som jeg ikke kan se indgår i spørhsmålet.

#12 Det er spørgsmål c. Jeg læser opgaven sådan at N er en poissonvariabel i gennem alle fire spørgsmål a,b,c og d. Jeg synes det må være tilfældet når både X_i'erne og N er defineret helt i starten af opgaven?