Matematik

Matematiske beviser

15. maj 2016 af Koplop (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvem har så at sige "fundet på" de forskellige matematiske beviser vi lærer i skolen? Her tænker jeg på bl.a. beviset for sammenhængen mellem areal- og stamfunktionen, beviserne for differentialligningerne osv. Var det bare tilfældige genier, eller ved man det faktisk? Eller var det noget en gymnasiematematiklærer ville kunne stykke sammen?

Fordi for mig er det fuldstændig uforståeligt hvordan nogen kan have en sådan indsigt til at kunne komme op med sådan noget.

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. maj 2016 af mathon

Der skal meget større matematisk indsigt/indføling til end den, som langt de fleste gymnasielærere møjsommeligt har slidt sig igennem til.

Svar #2
15. maj 2016 af Koplop (Slettet)

#1
Der skal meget større matematisk indsigt/indføling til end den, som langt de fleste gymnasielærere møjsommeligt har slidt sig igennem til.

Ok, snakker vi Newton, eller? Har man nogle navne? Hvad med sådan noget som integration ved substitution? Tror godt du kunne lave et originalt bevis Mathon :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. maj 2016 af mathon

Bemærk sammenhængen:

              Da
                       $\left ( F(g(x)) \right ){ }'=f(g(x))\cdot g{\, }'(x)$
              er
                       $\int_0 f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x=F(g(x))$
og dermed
                       $\int_{a}^{b} f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x=F(g(b))-F(g(b))=F(\beta )-F(\alpha )=$

$\int_{\alpha =g(a)}^{\beta =g(b)} f(u)\mathrm{d}u$

For at kunne integrere ved substitution,
skal formatet være

$\int_{a}^{b} f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x=\int_{\alpha =g(a)}^{\beta =g(b)} f(u)\mathrm{d}u$

og
u=g(x) og dermed $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=g{\, }'(x)\Leftrightarrow \mathrm{d}u =g{\, }'(x)\mathrm{d}x$

Med et rutineret kendskab til de elementære funktioners afledede, kan man afgøre, hvornår
parret
$g(x)\; /\; g{\, }'(x)$ foreligger i $\int_{a}^{b} f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x$

og dermed indse, om elementær integration ved brug af substitution er mulig.

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. maj 2016 af peter lind

I mange tilfælde ved man hvem, der har fundet på beviserne. Der findes store matematikere som Euklid, Fermat, Euler, Leibniz Gauss o.s.v. men også bidrag fra mere beskeden side. Der findes også tilfælde, hvor man ikke ved det. For eks. er nullet blevet opfundet af en ukendt inder. Pytagoras sætning er sandsynligvis heller ikke fundet af Pytagoras; men af en ukendt matematiker Det er da ikke mærkelig at nogen kan mere end andre.

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. maj 2016 af mathon

eksempel 1
på integration ved substitution:

$\int (x^4-1)^2\cdot 4x^3\mathrm{d}x$ det bemærkes at

$\int (x^4-1)^2\cdot 4x^3\mathrm{d}x$ er på formen    $\int f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x$

   og parret
   g(x) er $g{\, }'(x)$

x^4-1 4x^3

så ved substitutionen

   u=g(x)=x^4-1
   og
   $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=g{\, }'(x)=4x^3\Leftrightarrow \mathrm{d}u=4x^3\mathrm{d} x$

hvoraf

$\int (x^4-1)^2\cdot 4x^3\mathrm{d}x=\int u^2\mathrm{d}u=\frac{1}{3}u^3+C=\frac{1}{3}\left ( x^4-1 \right )^3+C$

Brugbart svar (0)

Svar #6
15. maj 2016 af mathon

eksempel 2
på integration ved substitution:

$\int_{0 }^{\frac{5\pi}{6} }\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)+2}}\mathrm{d}x=\int_{0 }^{\frac{5\pi }{6}}\frac{1}{\sqrt{\sin(x)+2}}\cos(x)\mathrm{d}x$

så med
$u=\sin(x)+2$ og dermed $\mathrm{d}u=\cos(x)\mathrm{d}x$
haves med substituerede grænser

   $\alpha =\sin\left (0 \right )+2=2$
   $\beta =\sin\left ( \frac{5\pi }{6} \right )+2=2{,}5$

   $\int_{0}^{\frac{5\pi}{6} }\frac{1}{\sqrt{\sin(x)+2}}\cos(x)\mathrm{d}x=\int_{\alpha =2}^{\beta =2{,}5 }\frac{1}{\sqrt{u}}\mathrm{d}u=2\int_{2}^{2{,}5 }\frac{1}{2\sqrt{u}}\mathrm{d}u=$

$2\left [ \sqrt{u} \, \, \right ]_{2}^{2,5}=2\cdot \left ( \sqrt{2{,5}}-\sqrt{2} \right )\approx 0{,}333851$

Skriv et svar til: Matematiske beviser

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.