Matematik

Polær form - komplekse tal

16. maj 2016 af mov92 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har $e^{6+4i}$ .

Her kan man aflæse modulus til 6 og argumentet til 4 hvorved jeg har den polære form. I Maple siger den at den polære form er $(e^{6}, -2\pi+4)$ , hvordan kan det være - og hvad mangler jeg evt.?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. maj 2016 af Toonwire

Maple har ret :)

Lad os starte med at skrive det komplekse tal op på en lettere læselig rektangulær form:

$z=e^{6+4i}=e^6\cdot e^{4i}=e^6 \cdot(\text{cos}(4)+i\cdot \text{sin}(4)) =\overbrace{e^6\cdot \text{cos(4)}}^{r\cdot cos \theta}+\overbrace{e^6\cdot \text{sin(4)}}^{r\cdot sin \theta}i$

$\\\text{Re}(z)=e^6\cdot \text{cos(4)}\\ \text{Im}(z)=e^6\cdot \text{sin(4)}$

På polær form skal vi finde

Lad os starte med at finde radius $\\r^2=\text{Re}(z)^2+\text{Im}(z)^2=e^{12}\cdot \text{cos}^2(4)+e^{12}\cdot \text{sin}^2(4) =e^{12}(\text{cos}^2(4)+\text{sin}^2(4))=e^{12}\\ \Leftrightarrow ~~r = \sqrt{e^{12}}=e^6$

I polære koordinater gælder der at vinklen hvormed vi befinder os i koordinatsystemet kan bestemmes ved

$\\\text{tan}\theta=\frac{r\cdot\text{sin}\theta}{r\cdot \text{cos}\theta} =\frac{e^6\cdot \text{sin}(4)}{e^6\cdot \text{cos}(4)} =\frac{\text{sin}(4)}{\text{cos}(4)}~~~\Leftrightarrow~~~\theta = 4-\pi$

Men vi skal om på den "anden side" af cirklen hvis det skal passe med vinklen (prøv selv at tegne cirklen). Så vi skal trække $\pi$ fra. (Vi kan også gå $\pi$ frem, det her er bare for at få overensstemmelse med Maple)

Dvs.

Og dermed svaret:

Skriv et svar til: Polær form - komplekse tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.