Matematik

PLANER I RUMMET MUNDLIG EKSAMEN A NIVEAU

17. juni 2016 af Naaaanai (Slettet) - Niveau: A-niveau

Rumgeometri

Gøre rede for planer i rummet. Bevis formlen for afstanden ml. et punkt og en plan.

Jeg har styr på beviset men jeg har ikke styr på at gøre rede

Er der nogle venlgie sjæl herinde der kan komme med nogle ideer til hvad jeg kan komme ind på ved at gøre rede for planer i rummet? Jeg tror ikke at jeg forstår spørgsmålet for jeg har bare gjort rede for at der nu er en z-akse med i rummet hvor vi tidligere i planen havde x 0g y planen

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. juni 2016 af mathon

Når P(x,y,z) er et vilkårligt punkt uden for planen ax+by+cz+d=0 og P_o(x_o,y_o,z_o) er et punkt i planen har man for P{}'s afstand til planen (tegn det og få overblik), når er $\overrightarrow{P_oP}{\, }'s$ vinkel med planen

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! d=\left | \overrightarrow{P_oP} \right |\cdot \left | \sin(v) \right |=\frac{\left |\overrightarrow{n} \right |\cdot \left | \overrightarrow{P_oP} \right |\cdot \left | \sin(v) \right |}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=\frac{\left |\left | \overrightarrow{n} \right |\cdot \left |\overrightarrow{P_oP} \right | \cdot \sin(v)\right |}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=\frac{\left | \overrightarrow{n}\times \overrightarrow{P_oP} \right |}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=$

$\frac{\left | \overrightarrow{n}\times \overrightarrow{P_oP} \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Svar #2
17. juni 2016 af Naaaanai (Slettet)

Kan jeg bruge det her Mathon http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/vektorer-i-3d/planer
og dernæst beskrive planens ligning http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/vektorer-i-3d/planens-ligning hvor jeg tegner på tavlen og forklarer hvor P, P0 og normalvektoren ligger mht til planen og dernæst springe direkte over til afstanden ml punkt og plan hvor jeg beviser formlen og kommer med et eksempel på hvordan man kan beregne afstanden ? Tror du det vil tage 30 minutter ? :/

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. juni 2016 af peter lind

Du kan godt bruge de pågældende sider; men står det ikke i forvejen i din bog ?

Ad tid. Min erfaring er at man altid undervurderer hvor lang tid det tager

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. juni 2016 af mathon

eller
Når P(x,y,z) er et vilkårligt punkt uden for planen ax+by+cz+d=0 og P_o(x_o,y_o,z_o) er et punkt i planen, har man for P{}'s afstand til planen (tegn det og få overblik), når er $\overrightarrow{P_oP}{\, }'s$ vinkel med planens normalvektor $\overrightarrow{n}$

$\small d=\left |\overrightarrow{ P_oP} \right |\cdot \left | \cos(v) \right |=\left |\left | \overrightarrow{P_oP} \right |\cdot \cos(v) \right |=\frac{\left |\left | \overrightarrow{n} \right |\cdot \left | \overrightarrow{P_oP} \right |\cdot \cos(v) \right |}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=\frac{\left | \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{P_oP} \right |}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=$

$\frac{\left | \begin{pmatrix} a\\b \\c \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-x_o\\y-y_o \\ z-z_o \end{pmatrix} \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{\left |ax+by+cz+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Svar #5
17. juni 2016 af Naaaanai (Slettet)

Tusind tak alle sammen! Jov alle de ting står i bogen men der står også nogle andre ting såsom fra ligning til parameterfremstilling osv. :-)
Men skal fremlæggelsen ikke mindst tage 15 minutter og samtalen tager 10 minutter eller noget i den stil? :-) for hvis jeg trækker vektor til eksamen så har jeg tænkt mig at tage udgangspunkt i planens ligning og bevise formlen og dernæst bevise formlen for afstand ml et punkt og plan hvor jeg kommer med et eksempel til sidst en en opgave, hvordan man bruger formlen :-)

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. juni 2016 af mathon

Planens parameterfremstilling:

Når $A,\; B\; og\; C$ er tre i planen beliggende lineært uafhængige punkter
har man for et vilkårligt punkt i planen:

$\large \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AB}+t\cdot \overrightarrow{AC}$

$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2 \\ b_3-a_3 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} c_1-a_1\\ c_2-a_2 \\ c_3-a_3 \end{pmatrix}$

Svar #7
17. juni 2016 af Naaaanai (Slettet)

Tusind tak Mathon :-)

Skriv et svar til: PLANER I RUMMET MUNDLIG EKSAMEN A NIVEAU

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.