Ang. formal definition for grænseværdi

Den holder ikke. Hvis grænseværdien eksisterer kan du godt finde et nyt N1 så n>N1 => |an-L| <  ε/2 men der er intet, der siger at N1=2N vil holde. Det kommer i høj grad an på den enkelte funktion

 eksempel

an = 2+1/n^k  k> 0 |a_n-2| < ε <=> 1/n^k < ε  <=> n^k>1/ε  Hvis du erstatter ε med ε/2 giver det n^k > 2/ε  og altså n^k skal fordobles; men det holder jo ikke for eks. for k=½

Mange tak. Nu har jeg lige et andet lign. spørgsmål. Hvis man ønsker at vise, at en anden følge {b_n} er konvergent med et tal M, og man fik mulighed for at vise, at der for ethvert ε>0 findes et naturligt N således at |b_n - M| < 2ε.

Men beviser dette konvergensen af følgen {b_n}? Nogle litteraturer vise det på en lignende måde til nogle sætninger, men de har ikke kommenteret nærmere om det. Grunden til jeg spørger er fordi, at definitionen står | ... | < ε i stedet for | ... | < 2ε. I starten tænkte jeg, at ret er irrelevant, idet ε er valgt vilkårligt, og derfor kan det vælges så lille vi ønsker. Men så tænkte jeg på om der findes en enklere matematisk forklaring på det.

Min forklaring ville være, at der må der vel findes et N' således at |b_n - M| < ε for alle N' ≥ N. Jeg gjorde det for at gøre omegnen af M mindre, således at det hænger præcis sammen til definitionen. Er det korrekt forklaret? Jeg håber du forstår mine tanker.

1. del rettelse ... findes et naturligt N således at |b_n - M| < 2ε for alle n ≥ N.

3. del rettelse ... findes et N' ≥ N således at |b_n - M| < ε for alle n ≥ N'.

# 3 (med rettelserne i # 4) er korrekt.

Jeg synes egentlig, at de argument med at epsilon er valgt vilkårligt er tilstrækkeligt.

Selvom jeg ikke synes, at det er nødvendigt, så kan du evt. også tænke sådan her: (jeg skriver e i stedet for epsilon fordi det er hurtigere).

Lad e > 0 være givet. Lad så e₁ = e/2. Da e₁ > 0 findes pr. antagelse et N^' så |b_n - M| < 2e₁ = 2 e/2 = e for alle n ≥ N'.