Matematik

Gæt en formel.

19. september 2016 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude. Jeg er i gange med en opgave, som jeg ikke har en clue.

Opgaven lyder:

Gæt en formel for $a_n = \frac{1}{1*2}= \frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+......\frac{1}{n*(n+1))}$ .

Jeg har regnet udtrykket, og det giver $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k (k+1)} =1$ , men kan ikke komme videre.

Vil nogen hjælpe mig med opgaven, det kan være, at der findes nogle gode eksampler på nettet, eller hjælpe på en anden måde.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. september 2016 af Capion1

Er det, du søger, en formel for summen af de første n led?

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\left ( k+1 \right )}=\frac{n}{n+1}$ $\rightarrow \: 1\: \: \textup{for}\:\: n\: \rightarrow \: \infty$

Svar #2
19. september 2016 af Rossa

Det ser rigtigt ud, men hvordan kom du frem til denne formel?

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. september 2016 af PeterValberg

Du skal vel ud i et induktionsbevis :-)

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Svar #4
19. september 2016 af Rossa

Det har jeg bevist, men hvordan har I gættet formlen?.

Jeg har bare tænket, at $a_n = \frac{1}{1*2}= \frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+......\frac{1}{n*(n+1))} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k*(k+1))}$ ,

men hvordan kom I til:
$a_n = \frac{1}{1*2}= \frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+......\frac{1}{n*(n+1))} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k*(k+1))} =\frac{n}{n+1}$ ?

Brugbart svar (1)

Svar #5
19. september 2016 af PeterValberg

hvis:

m = n+1

så:

$\frac{1}{n\cdot m}=\frac1n-\frac1m$

derfor vil:

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+_{\cdots}+\frac{1}{n\cdot (n+1)}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Svar #6
19. september 2016 af Rossa

Tak for det

Brugbart svar (1)

Svar #7
19. september 2016 af Soeffi

#0 Hvis du vil bruge summationstegn:

$\\\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i\cdot (i+1)}= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i+1}=\\\;\\\;\\ {\color{Red} \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}}-{\color{Blue} \sum_{i=2}^{n+1}\frac{1}{i}}= {\color{Red} 1+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i}}-{\color{Blue} \sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i}-\frac{1}{n+1}}=\frac{n}{n+1}$

Skriv et svar til: Gæt en formel.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.