Matematik

Cirklens tangentligning

05. november 2016 af grahamcracker (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hejsa! Jeg er igang med en opgave som jeg umiddelbart har meget svært ved lige at hitte ud af. Opgaven går ud på at bestemme en ligning til de to tangenter det tangerer en cirkel med ligningen x^2+y^2+12x+2y+24=0, og som går igennem et punkt (1,8) som ikke ligger på førnævnte cirkel.

På forhånd tak,

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. november 2016 af mathon

Cirkelligning:
(x + 6)² + (y + 1)² = 37

          Tangentligning
           med røringspunkt (x_o,y_o):
                                 (x_o + 6)(x + 6) + (y_o + 1)(y + 1) = 37   gennem (1,8)

(x_o + 6)(1 + 6) + (y_o + 1)(8 + 1) = 37

7x_o + 42 + 9y_o + 9 = 37

7x_o + 9y_o = -14

y_o = -7x_o - 14

Brugbart svar (0)

Svar #2
05. november 2016 af mathon

hvor
(x_o ; -7x_o- 14) ligger på cirklen.

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. november 2016 af mathon

og hvor den ene tangentligning
er:
(203 - √(1009))x + (29+7√(1009))y + (√(1009) - 603) = 0

Brugbart svar (1)

Svar #4
05. november 2016 af AMelev

Bestem cirklens centrum C(a,b) og radius r ud fra cirklens ligning ved at omskrive den til formen
(x - a)² + (y - b)² = r².

#1 Cirkelligning: (x + 6)² + (y + 1)² = 37 fejl

Kald røringspunktet P0(x0,y0) og punktet P(1,8)
Tangenten står vinkelret på $\underset{CP0}{\rightarrow}=\begin{pmatrix} x0-a\\ y0-b \end{pmatrix}$ , så denne er normalvektor til tangenten, dvs. at en ligning for tangenten er $(x0-a)\cdot (x-1)+(y0-b)\cdot (y-8)=0$ .

Røringspunktet (x0,y0) skal tilfredstille både cirklens og tangentes ligning.
Indsæt i (x0,y0) i stedet for (x,y) i de to ligninger og løs dem mht. x0 og y0.
Indsæt derefter de fundne (x0,y0)-værdier i tangentens ligning.

Jeg får −2x+3y-22=0 og 17x-6y+31=0, men jeg garanterer ingenting.

Jeg er bestemt ikke sikker på, at dette er den smarteste metode, men det var den, jeg lige nu kunne udtænke.

Brugbart svar (1)

Svar #5
06. november 2016 af mathon

korrektion:

Cirkelligning:
(x + 6)² + (y + 1)² = 13

          Tangentligning
           med røringspunkt (x_o,y_o):
                                 (x_o + 6)(x + 6) + (y_o + 1)(y + 1) = 13 gennem (1,8)

(x_o + 6)(1 + 6) + (y_o + 1)(8 + 1) = 13

7x_o + 42 + 9y_o + 9 = 13

7x_o + 9y_o = -38

$y_o=\frac{-7x_o-38}{9}$ som indsat i cirkelligningen
giver:
$(x_o+6)^2+(\tfrac{-7x_o-38}{9}+1)^2=13$

med røringspunkterne:

$R_1=\left ( -8,2 \right )$ og $R_2=\left ( -\tfrac{13}{5},-\tfrac{11}{5} \right )$

og tangentligningerne:

$t_1\! \! :\; \; \frac{y-y_1}{x-x_1}= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$t_1\! \! :\; \; \frac{y-8}{x-1}= \frac{2-8}{-8-1}$

$t_1\! \! :\; \; y=\tfrac{2}{3}x+\tfrac{22}{3}$

$t_2\! \! :\; \; \frac{y-y_1}{x-x_1}= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$t_2\! \! :\; \; \frac{y-8}{x-1}= \frac{-\tfrac{11}{5}-8}{-\tfrac{13}{5}-1}$

$t_2\! \! :\; \; y=\tfrac{17}{6}x+\tfrac{31}{6}$

Skriv et svar til: Cirklens tangentligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.