Matematik

Bestem b værdier for f voksende?

07. november 2016 af BrainyBrain - Niveau: B-niveau

Hej

Sidder med dette spørgsmål:

En funktion f er bestemt ved

f(x) = x³ + bx² + 3x + 4 , hvor b er et tal

Bestem de værdier af b, for hvilke f er en voksende funktion

Jeg er ikke helt med på hvordan man løser den.. på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. november 2016 af StoreNord

Prøv at differentiere f(x).

Hvor f' <> 0, er der ingen lokale extremer. Så er den enten strengt voksende eller strengt aftagende.

Hvor er f' større end 0?

Svar #2
07. november 2016 af BrainyBrain

f'(x) = 3x² + 2bx + 3

Svar #3
07. november 2016 af BrainyBrain

Fatter hat ..

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. november 2016 af StoreNord

Hvis diskriminanten er negativ er der ingen rødder i f'.

Svar #5
07. november 2016 af BrainyBrain

Og det giver hvilken betydning?

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. november 2016 af StoreNord

Så er der ingen extremer på f(x); altså er den kun voksende eller aftagende

Svar #7
07. november 2016 af BrainyBrain

Hvordan hjælper det til med at bestemme de værdier af b, for hvilke f er en voksende funktion?

Svar #8
07. november 2016 af BrainyBrain

Hvordan kan et tredjegradspolynomium kun være voksende eller aftagende? .. den har da altid to vendetangenter .. ? eller er jeg helt ud og skide?

Brugbart svar (0)

Svar #9
07. november 2016 af StoreNord

Du har sikkert beregnet diskriminanten. D=4b²-36

Den skal være 0 eller positiv for at f' kan have nogen nulpunkter, hvor der kan være et extremum. Hvis der èr et extremum, er funktionen jo både voksende og aftagende.

Brugbart svar (0)

Svar #10
07. november 2016 af mathon

f(x)=x^3+bx^2+3x+4

$f{\, }'(x)=3x^2+2bx+3$

$d=(2b)^2-4\cdot 3\cdot 3$

$d=4b^2-4\cdot3^2>\;( \geq) \; 0$

Brugbart svar (0)

Svar #11
07. november 2016 af StoreNord

Svar på #8

Vedhæftet fil:Bestem b værdier for f voksende.png

Brugbart svar (0)

Svar #12
08. november 2016 af AMelev

#8. Jeg tror måske, du har misforstået begrebet vendetangent. En vendetangent er ikke, hvor grafen skifter fra voksende til aftagende eller omvendt - der er bare en vandret tangent.
fx f(x) = x³ er voksende i hele R, men har vandret vendetangent i x = 0 (den skifter "krumning").

f(x) er voksende ⇔ f '(x) ≥ 0 for alle x.
Du skal altså bestemme de b-værdier, hvor f ' (x) = 3x² + 2bx + 3 ≥ 0
Grafen for f '(x) er en parabel med grenene opad, da a = 3 > 0. Så langt så godt, men f ´(x) må heller ikke have 2 rødder, for så vil den være negativ mellem dem. Altså skal diskriminanten være ikke-postiv, som #10 angiver.

Du skal derfor løse uligningheden d ≤ 0 mht. b, hvor d er diskriminanten for f '(x).

Brugbart svar (0)

Svar #13
08. november 2016 af fosfor (Slettet)

At f(x) er voksende betyder præcis at f '(x) > 0 for alle x.

Dvs. spørgsmålet er: For hvilke b gælder 3x² + 2bx + 3 > 0 for alle x.

Hvad er mindsteværdien af 3x² + 2bx + 3 ? - Koefficienten til x² er positiv, så grenene vender op, og toppunktets y-værdi er derfor mindsteværdien. Formlen for toppunktets x-værdi giver: x_Toppunkt = -b/3. Dvs.

y_Toppunkt = 3(-b/3)² + 2b(-b/3) + 3 = 3 - b²/3

Hvis mindsteværdien er større end 0, gælder det samme for alle x. Derfor løses

3 - b²/3 > 0 ⇔ 9 > b² ⇔ -3 < b < 3

Brugbart svar (0)

Svar #14
08. november 2016 af mathon

#10 fortsat:

$d=4b^2-4\cdot3^2> 0$

$4b^2> 4\cdot3^2$

b^2> 3^2

$\left |b \right |^2> 3^2$

$\left |b \right |> 3$

$b<-3\; \vee\; b>3$

Brugbart svar (0)

Svar #15
09. november 2016 af AMelev

#10 og #14 Diskriminanten skal være negativ, da f ' ikke må være negativ og altså ikke må have to nulpunkter.

Brugbart svar (0)

Svar #16
10. november 2016 af mathon

Sorry!
$d=4b^2-4\cdot3^2< 0$

$4b^2< 4\cdot3^2$

b^2< 3^2

$\left |b \right |^2< 3^2$

$\left |b \right |< 3$

-3< b<3

Skriv et svar til: Bestem b værdier for f voksende?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.