Matematik

Lineær uafhængighed af vektorer / Lineær Algebra

19. december 2016 af JLO9 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har problemer med vedhæftet opgave:

Jeg er klar over, hvordan det vises, at en familie af vektorer er lineære uafhængige, og hvorvidt den frembringer et vektorrum, og hvad definitionen af en basis for et vektorrum er. Men er det korrekt forstået at

$f(x)=a_0+\sum (cos(nx)\cdot a_1+ sin(nx)\cdot b_1)$

er den lineære kombination af familien af vektorer? Men hvor kommer de to a'er og det ene b fra?

I mit forsøg på at løse den første delopgave har jeg udregnet at

$f(0)=a_0+0\cdot a_1+1\cdot b_1$

$f \left(\frac{\pi }{2}\right)=a_0+0 \cdot a_1+1 \cdot b_1$

$f(\pi)=a_0+(-1) \cdot a_1+0 \cdot b_1$

og familien af vektorer er derfor lineære uafhængige, da både a'erne og b skal være nul for at ligningerne giver nul. Er dette korrekt? Jeg er dog lidt i tvivl om, hvad jeg skal gøre herfra. Jeg tror mit problem er, at jeg ikke rigtig forstår, hvordan den første ligning i denne besked er blevet til.

Mvh.

Vedhæftet fil: 3.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. december 2016 af Stats

Du skal jo vise at familien (1,cos(x),sin(x)) er lineært uafhængigt og derefter bestemme dimensionen.

Altså, svare det til, at du skal vise, at 1·a₀ + cos(x)·a₁ + sin(x)·b₁ = 0, hvor den eneste løsning, er hvor a₀= a₁= b₁=0 - og dermed kan man jo konkludere, at familien er lineært uafhængig.

Du beregner derfor nogen værdier for cos og sin (hvilket i dette tilfælde er x = {0, π/2, π} )

Du finder ved at indsætter ligningssystemet

$\\ \left.\begin{matrix} 1\cdot a_0 + \cos(0)a_1 + \sin(0)b_1\\ 1\cdot a_0 + \cos\left(\frac{\pi}{2} \right )a_1 + \sin\left(\frac{\pi}{2} \right )b_1\\ 1\cdot a_0 + \cos\left(\pi \right )a_1 + \sin\left(\pi\right )b_1 \end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix} a_0+a_1\\ a_0+b_1\\ a_0-a_1 \end{matrix}\right \}=\textbf{0}$

På matrixform har du...

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ b_1 \end{pmatrix}$

Vi løser Ax = 0

$\\ \left(\begin{array}{c c c | c} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\begin{array}{l} {\color{white} .}\\ +(-1)R_1\\ +(-1)R_1 \end{array}\sim \left(\begin{array}{c c c | c} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0 \end{array} \right)\begin{array}{l} {\color{white} .}\\ (-1)R_2\\ {\color{white} .} \end{array}\sim\\ \\ \\ \left(\begin{array}{c c c | c} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0 \end{array} \right)\begin{array}{l} +(-1)R_2\\ {\color{white} .}\\ +2R_2 \end{array}\sim\left(\begin{array}{c c c | c} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{array} \right)\begin{array}{l} {\color{white} .}\\ {\color{white} .}\\ -\frac{1}{2}R_3 \end{array}\sim\\ \\ \\ \left(\begin{array}{c c c | c} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\begin{array}{l} +(-1)R_3\\ +R_3\\ {\color{white} .} \end{array}\sim\left(\begin{array}{c c c | c} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$

Vi har altså, at a₀ = a₁ = b₁ = 0, og dermed er konklussionen at denne er uafhængig.

Vi har, at antallet af ledende ingange er 3 og dermed $\dim_\mathbb{F}(\textrm{Trig}_1(\mathbb{R}))=3$

- - -

Mvh Dennis Svensson

Skriv et svar til: Lineær uafhængighed af vektorer / Lineær Algebra

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.