Matematik

Bestem areal ud fra 3 punkter

06. januar 2017 af Golfdrengen2012 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Sidder fast i min sidste opgave fra min SSO.

Jeg har tre punkter i et koordinatsystem

P(-2,-1), Q(4,7) og R(12,3)

Ud fra disse tre punkter skal jeg finde arealet af den trekant der forbinder dem, på mindst 3 forskellige måder.

Jeg vil finde grundlinjen vha. linjens ligning a(x-x0)+b(y-y0)=0 og højden vha. Dist-formlen. Men tror ikke jeg har styr på hvordan jeg gør det.

Jeg vil trække punkt P fra R:

(12-(-2)) og (3-(-1)), så vi får koordinatsæt: (14,4) og normalvektor: (-4,14). Men kan jeg bruge både normalvektor og punkt P og R i formlen for linjens ligning ?

Brugbart svar (1)

Svar #1
06. januar 2017 af Eksperimentalfysikeren

Du skal bruge højde og grundlinie for at kunne benytte A = ½h*g. Du har den vektor, (14,4), der er grundlinie, så du skal finde dens længde. Så har du g.

Hvis du opskriver liniens ligning på formen ax+by+c=0, kan du benytte den normalvektor, du har fundet til a og b: a = -4 og b = 14. c finder du ved at indsætte koordinaterne til P eller R. I den form, du selv har skrevet op er (x0,y0) enten P eller R. Der er frit valg, det skal blot være et punkt på linien.

Når du har a,b og c kan du finde h. Du indsætter Q's koordinater i ligningen og får en værdi, der ikke er 0. Denne værdi er Q's afstand til linien gange med længden af normalvektoren.

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. januar 2017 af mathon

Hvis man nummererer de tre punkter, så disse efterfølger hinansen i positiv omløbsretning
har man:
$T=\tfrac{1}{2}\cdot \left ( x_1(y_2-y_3)+ x_2(y_3-y_1)+ x_3(y_1-y_2)\right )$

$T=\tfrac{1}{2}\cdot \left (-2(3-7)+ 12(7-(-1))+ 4(-1-3)\right )$

Svar #3
07. januar 2017 af Golfdrengen2012 (Slettet)

Tror jeg er med nu.

Et sidste spørgsmål:

Er cosinusrelation til at finde vinkel A mere troværdig end f.eks. hvis jeg benytter formlen til at finde vinklen imellem to vektorer ?

Svar #4
07. januar 2017 af Golfdrengen2012 (Slettet)

Fin formel du kom med der, men hvor kan jeg blive klogere på den ?

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. januar 2017 af mathon

Ligningen for "grundlinjen" PR
er
$q\! \! :\; \; 2x-7y-3=0$
Q's afstand = h_q fra denne
er:
$h_q=\frac{\left |2\cdot 4-7\cdot 7-3 \right |}{\sqrt{2^2+(-7)^2}}$

og arealet af $\Delta PQR\! :$

$T=\tfrac{1}{2}\cdot h_q\cdot q=\tfrac{1}{2}\cdot h_q\cdot \left | PR \right |$

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. januar 2017 af mathon

Heron:
$p=4\sqrt{5}$ $q=2\sqrt{53}$ r=10

$s=\frac{p+q+r}{2}=\frac{4\sqrt{5}+2\sqrt{53}+10}{2}=2\sqrt{5}+\sqrt{53}+5$

$s-p=2\sqrt{5}+\sqrt{53}+5-4\sqrt{5}=\sqrt{53}+5-2\sqrt{5}$

$s-q=2\sqrt{5}+\sqrt{53}+5-2\sqrt{53}=2\sqrt{5}+5-\sqrt{53}$

$s-r=2\sqrt{5}+\sqrt{53}+5-10=2\sqrt{5}+\sqrt{53}-5$

areal:
$T=\sqrt{s(s-p)(s-q)(s-r)}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. januar 2017 af mathon

#3
Er cosinusrelation til at finde vinkel P mere troværdig end f.eks. hvis jeg benytter formlen til at finde vinklen imellem to vektorer ?
…

$\angle P$ beregnet med cos-relation:

$P=\cos^{-1}\left ( \frac{q^2+10^2-(4\sqrt{5})^2}{2\cdot q\cdot r} \right )=\cos^{-1}\left ( \frac{(2\sqrt{53})^2+10^2-p^2}{2\cdot (2\sqrt{53})\cdot q} \right )=37{,}1847^\circ$
.

$\angle P$ beregnet som vinklen mellem vektorerne $\overrightarrow{PR}$ og $\overrightarrow{PQ}$ :

$\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix} 14\\4 \end{pmatrix}$ $\left | \overrightarrow{PR} \right |=2\sqrt{53}$

$\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix} 6\\8 \end{pmatrix}$ $\left | \overrightarrow{PQ} \right |=10$

$P=\cos^{-1}\left (\frac{\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{PQ}}{\left |\overrightarrow{PR} \right |\cdot \left | \overrightarrow{PQ} \right |} \right )=37{,}1847^\circ$

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. januar 2017 af mathon

færdiggørelse:

$P=\cos^{-1}\left ( \frac{q^2+10^2-(4\sqrt{5})^2}{2\cdot q\cdot r} \right )=\cos^{-1}\left ( \frac{(2\sqrt{53})^2+10^2-p^2}{2\cdot (2\sqrt{53})\cdot 10} \right )=37{,}1847^\circ$

Brugbart svar (0)

Svar #9
08. januar 2017 af Number42 (Slettet)

Den generelle formel for en polygon er

T = Sum[(x(i) y(i + 1) - x(i + 1)*y(i) ), {i, n}]/2

n er antallet af polygonens hjørner.

Siden der summeres fra 1 til n så skal vektorerne indeholde n+1 punkter, dvs det første punkt skal gentages til sidst.

Hold en omløbsretning hvis det er den forkerte bliver arealet bare negativt. Positiv omløbsretning er den rigtige (Mod U-ret).

Skriv et svar til: Bestem areal ud fra 3 punkter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.