Matematik

Bestem middelværdien

15. januar 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude. Her har jeg en opgave, som er ikke nemt for mig. Jeg har brugt masse tid, men er ikke kommet ret lang.
På forhånd kender jeg:
Funktion: $f(x,y) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}& 0< x<1, 0<y <x \\ 0 & else \end{matrix}\right.$
Den marginale tæthed for Y er
$g(y) = \left\{\begin{matrix} -log(y)& 0<y <1 \\ 0 & else \end{matrix}\right.$
En ny stokastisk variabel Z defineret som: Z = -log(Y)
Dens tæthed er:
$f(x,y) = \left\{\begin{matrix} z*e^{-z}& z>0 \\ 0 & else \end{matrix}\right.$

Opgaven lyder:

Bestem middelværdien af Z og middelværdien af den stokastiske variabel $\frac{Y}{X}$ .

Vink til E(Z): Det kan være nyttigt at huske middelværdien og variansen for eksponentialfordelingen.
Vink til $E \left(\frac{Y}{X} \right)$ : Benyt den flerdimensionale udgave af LOTUS.

Vi kender følgende funktion:

Her er den løsning til middelværdien jeg tænker.
$EZ = \int_{0}^{\infty} z* (z*e^{-z}) dz =\int_{0}^{\infty} z^2 e^{-z} dz = 2$ .

Til middelværdien af $\frac{Y}{X}$ skal jeg bruge formlen: $E(g(x,y)) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y) \ f_{X,Y}(x,y) dx dy$ .
Problemet for mig er: Hvad er g(x,y) lig med?
Er $g(x,y) = \frac{Y}{X}$ ??????
Hvad er også og ? Er Y=g(y)= -log(y) ?
$X \ ????$
Hvad er $f_{X,Y}(x,y)$ fra formlen?

Jeg er frustreret over for opgaven.
Jeg håber, at nogen vil hjælpe med opgaven.
På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. januar 2017 af peter lind

Middelværdien for Z er rigtig

Du har ret i at g(x,y) = y/x

f_X,Y(x,y) er den funktion, der står øverst i dit indlæg

Svar #2
15. januar 2017 af Rossa

Skal det IKKE være $g(x,y) = \frac{y}{x}$ ?

Altså $E(g(x,y)) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y) \ f_{X,Y}(x,y) dx dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \frac{1}{x} \frac{y}{x}dy dx$ ?

Er det du mener ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. januar 2017 af peter lind

Du har ret. Det skal være y/x men det er jo også det jeg skriver

Svar #4
15. januar 2017 af Rossa

Mange tak

Skriv et svar til: Bestem middelværdien

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.