Matematik
Uendeligt produkt og konvergensen
Hvordan viser man, at konvergensen af det uendelige produkt ∏n∈N(1 + an) medfører an → 0 for n → ∞? Er det muligt at give et kort bevis for den første identitet (1) i WolframMathWorld?
Svar #1
31. august 2017 af fosfor (Slettet)
Konvegens medfører ikke an -> 0 uden den ekstra betingelse, at der ikke eksisterer et n med an = -1.
Svar #2
31. august 2017 af AskTheAfghan
Jeg forudsætter, at 1 + an ≠ 0 for alle n. Sæt bn = ∏k∈{1,2,..,n} (1 + ak). Hvis limn→∞ bn eksisterer, vil bn/bn-1 → 1 for n→∞. Men 1 + an = bn/bn-1 for alle n, hvilket svarer på dit første spg.
Identiteten (1) kan vises på følgende måde (bevisskitse). Ved brug af Weierstrass' Gammafunktion (dvs. (2) i dit link), har man 1/Γ(z) 1/Γ(-z) = -z2∏n∈N(1 - (z/n)2) for alle komplekse tal z. Kombinerer man det med Eulers spejlingsformel, giver sin(z) = z∏n∈N(1 - z2/(πn)2). Benyt den til at bestemme højresiden af cos(z) = sin(2z)/(2sin(z)).
Skriv et svar til: Uendeligt produkt og konvergensen
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.