Matematik

Fodpunkt af højden vha koordinater

17. september 2017 af Noellaaa (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej!

Jeg står med denne her opgave:

I trekant ABC har vinkelspidserne koordinaterne A (2,4), B (-1,-1) og C (8,-3). Bestem koordinaterne (2 decimaler) til fodpunktet af højden fra A på BC og til fodpunktet af højden fra B på AC.

Jeg har lavet et eksempel. men er ikke sikker på det rigtigt det jeg laver. Hvis der en der har lyst til at kigge på det må de gerne skrive det, så uploader jeg det.. ellers nogen idéer til hvordan?

Brugbart svar (1)

Svar #1
17. september 2017 af peter lind

Den første: BC er normalvektor til højden. Find deraf højdens ligning og dernæst den skæring med BC

Svar #2
17. september 2017 af Noellaaa (Slettet)

#1
Den første: BC er normalvektor til højden. Find deraf højdens ligning og dernæst den skæring med BC

Jeg gik ud fra, at jeg først skulle finde linjens ligning. Så jeg beregnede først og fremmest a (hældningen), hvor jeg så efterfølgende satte den ind i formlen: y-y0=a(x-x0). Jeg isolerede y, så det blev: y = -9x/2-11/2.

Nu har jeg linjens ligning for BC. Derefter ville jeg beregne linjens ligning for A til midtpunktet af BC. Jeg gik ud fra linjerne var ortogonale, fordi fodpunktet til A er vinkelret. Så deres produkt af a måtte være -1.

Så a for denne er +2/9.

Og for at fuldføre ligningen, så brugte jeg A's koordinater til at beregen dens linjes ligning, som jeg så fik til:

y-4=2/9(x-2) <--> y = 2/9x+32/9

Nu har jeg to ligninger med to ubekendte:

y = -9x/2-11/2.

y = 2/9x+32/9

.. Efter at have sat dem ind i maple, fik jeg, at x er 1,09 og y er 3,13

Er det overhovedet rigtigt det jeg har fået gjort her? Jeg er først lige begyndt at lære om vektorer osv. Så jeg er rimelig lost..

Svar #3
17. september 2017 af Noellaaa (Slettet)

Anyone? Det ville være sødt, hvis nogen gad forklare. Min lærer er ikke den store hjælp heller.. har læst mig frem til det meste indtil videre i et par dage :(

Brugbart svar (1)

Svar #4
17. september 2017 af mathon

Når $\small D$ er fodpunktet for $\small h_a$ ,
haves:

$\small \overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix} 2-(-1)\\ 4-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\5 \end{pmatrix}$ $\small \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 8-(-1)\\ -3-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9\\-2 \end{pmatrix}$

$\small \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 3\\5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 9\\-2 \end{pmatrix}=3\cdot 9+5\cdot (-2)=27-10=17$

$\small \left | \overrightarrow{BC} \right |^2=9^2+(-2)^2=85$
Projektionen af $\small \overrightarrow{BA}$ på $\small \overrightarrow{BC}:$

$\small \overrightarrow{BA}_{BC}=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{\left | \overrightarrow{BC} \right |^2}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{17}{85}\cdot \begin{pmatrix} 9\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tfrac{9}{5}\\ -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}$

$\small \overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix} \tfrac{9}{5}\\ -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}$

$\small \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix} \tfrac{9}{5}\\ -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}$

$\small \overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix} \tfrac{9}{5}\\ -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}+\overrightarrow{OB}$

$\small \overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix} \tfrac{9}{5}\\ -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tfrac{4}{5}\\ -\tfrac{7}{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{.}80\\ -1{.}4 \end{pmatrix}$

Et punkt har samme koordinater som sin stedvektor
hvoraf:
$\small \small D=\left ( 0{.}80\, \, ; -1{.}4 \right )$

Svar #5
17. september 2017 af Noellaaa (Slettet)

#4
   Når $\small D$ er fodpunktet for $\small h_a$ ,
haves:

$\small \overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix} 2-(-1)\\ 4-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\5 \end{pmatrix}$    $\small \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 8-(-1)\\ -3-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9\\-2 \end{pmatrix}$

$\small \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 3\\5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 9\\-2 \end{pmatrix}=3\cdot 9+5\cdot (-2)=27-10=17$

$\small \left | \overrightarrow{BC} \right |^2=9^2+(-2)^2=85$
Projektionen af $\small \overrightarrow{BA}$ på $\small \overrightarrow{BC}:$

$\small \overrightarrow{BA}_{BC}=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{\left | \overrightarrow{BC} \right |^2}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{17}{85}\cdot \begin{pmatrix} 9\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tfrac{9}{5}\\ -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}$

$\small \overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix} \tfrac{9}{5}\\ -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}$

$\small \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix} \tfrac{9}{5}\\ -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}$

   $\small \overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix} \tfrac{9}{5}\\ -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}+\overrightarrow{OB}$

   $\small \overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix} \tfrac{9}{5}\\ -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tfrac{4}{5}\\ -\tfrac{7}{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{.}80\\ -1{.}4 \end{pmatrix}$

Et punkt har samme koordinater som sin stedvektor
hvoraf:
   $\small \small D=\left ( 0{.}80\, \, ; -1{.}4 \right )$

Mange tak for hjælpen. Det vil sige, den måde jeg har regnet mig frem til tingene er komplet forkert.

Det du har lavet der, har du evt. en hjemmeside, som kan forklare nærmere, hvorfor det lige præcis er sådan regneudtrykkende skal være? Og igen, mange gange tak!

Svar #6
17. september 2017 af Noellaaa (Slettet)

Forresten jeg forstår ikke det der med, at OB = koordinaterne -1 og -1, det er jo B's koordinater. Er det et O eller et nul du har sat foran...

Eller nej! Nu forstår jeg det, stedvektorens koordinater er det samme som punktets koordinater..

Brugbart svar (1)

Svar #7
17. september 2017 af MatHFlærer

O=[0,0,0] dvs. i origo.

Svar #8
17. september 2017 af Noellaaa (Slettet)

Men det jeg ikke forstår, hvordan kan det være jeg slet ikke skal gøre brug af linjens ligning eller andet af det ovenstående.. Havde virkelig regnet med det var det jeg skulle gå ud fra i denne opgave.. kendte intet til "projektion"....

Vi nemlig ikke nået så langt, som med projektion, jeg slog det op i min matematikbog, og det stod der noget om i nogle kapitler fremad, så forstår det godt udmærket nu. Men jeg tænkte mere på om man ikke kunne bruge linjens ligning fordi det det vi arbejder med lige nu..

Brugbart svar (1)

Svar #9
17. september 2017 af MatHFlærer

Brug linjens ligning i punkterne B og C. Opstil en vektor BC. (Når jeg ikke skriver i LaTeX så er en vektor angivet med fed, men når jeg skriver i LaTeX så er vektoren med pil!). Den skulle gerne se sådan ud:

$\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 9\\-2 \end{pmatrix}$

Når du så bruger linjens ligning, så tager du tværvektoren af BC. Ved at benytte et punkt, så skulle din ligning for m gerne se sådan ud:

2x+9y+11=0

$\Updownarrow$

$y=\frac{-2x-11}{9}$

Dernæst skal vi se lidt på punktet A. Den har punktet A=(2,4). Vi kender hældningen i vores linje m, som går gennem B og C. Vi skal have opstillet en vinkelret linje på m som går gennem A. Vi løser ligningen

$\frac{-2}{9}\cdot a=-1$

$\Updownarrow$

$a=\frac{9}{2}$

Og ved hjælp af punktet A kan vi bestemme linjen n som går igennem A og det kommende punkt D, netop der hvor linjen n er ortogonalt med linjen m. Så

$4=\frac{9}{2}\cdot 2+b$

$\Updownarrow$

b=-5

Dermed er linjen for n

$y=\frac{9}{2}x-5$

Koordinatsættet til D kan findes ved at sætte m og n sammen, så man får en ligning kun med x.

$\frac{-2x-11}{9}=\frac{9}{2}x-5$

$\Updownarrow$

$x=\frac{4}{5}$

Og den tilhørerende y værdi kan findes ved at sætte x ind i linjen for m eller n. Altså er

$y=\frac{-7}{5}$

Afrundet er koordinatsættet

D=[0.80,-1.40]

Jeg håber ovenstående giver mening. Ellers vil jeg skrive det i Word og uploade her. Men jeg må give, at de andre hjælperes metode nok er nemmere.

Svar #10
17. september 2017 af Noellaaa (Slettet)

#9
Brug linjens ligning i punkterne B og C. Opstil en vektor BC. (Når jeg ikke skriver i LaTeX så er en vektor angivet med fed, men når jeg skriver i LaTeX så er vektoren med pil!). Den skulle gerne se sådan ud:

$\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 9\\-2 \end{pmatrix}$

Når du så bruger linjens ligning, så tager du tværvektoren af BC. Ved at benytte et punkt, så skulle din ligning for m gerne se sådan ud:

$\Updownarrow$

$y=\frac{-2x-11}{9}$

Dernæst skal vi se lidt på punktet A. Den har punktet A=(2,4). Vi kender hældningen i vores linje m, som går gennem B og C. Vi skal have opstillet en vinkelret linje på m som går gennem A. Vi løser ligningen

$\frac{-2}{9}\cdot n=-1$

$\Updownarrow$

$n=\frac{9}{2}$

Og ved hjælp af punktet A kan vi bestemme linjen p som går igennem A og det kommende punkt D, netop der hvor linjen p er ortogonalt med linjen m. Så

$4=\frac{9}{2}\cdot 2+b$

$\Updownarrow$

Dermed er linjen for p

$y=\frac{9}{2}x-5$

Koordinatsættet til D kan findes ved at sætte m og p sammen, så man får en ligning kun med x.

$\frac{-2x-11}{9}=\frac{9}{2}x-5$

$\Updownarrow$

$x=\frac{4}{5}$

Og den tilhørerende y værdi kan findes ved at sætte x ind i linjen for m eller p. Altså er

$y=\frac{-7}{5}$

Afrundet er koordinatsættet

Jeg håber ovenstående giver mening. Ellers vil jeg skrive det i Word og uploade her. Men jeg må give, at de andre hjælperes metode nok er nemmere.

Mange tak for hjælpen! Føler mig helt besværlig! Jeg giver dig ret i, at det er andet er nemmere, men det nu meget rart at kende begge metoder.

Men ja, det giver rigtig god mening!! Igen mange gange tak!! :-)

Skriv et svar til: Fodpunkt af højden vha koordinater

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.