Matematik

Epsilon delta, hjælp til en lille opgave

23. september 2017 af KaspermedK - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, sidder og øver mig lidt. Jeg har opgaven

"In Excercises 3-6, in what interval must x be confined if f(x) must be within the given distance ε of the number L?"

Nr. 3:

f(x)=2x-1, L=3, ε=0.02

Jeg kan se facit, men vil gerne lige vide hvordan jeg præcis gør. Der findes desværre ikke nogen gode eksempler i bogen..

Brugbart svar (1)

Svar #1
23. september 2017 af fosfor (Slettet)

(L - e ; L + e) ∋ f(x)
(L - e ; L + e) ∋ 2x - 1
(L - e + 1 ; L + e + 1) ∋ 2x
((L - e + 1)/2 ; (L + e + 1)/2) ∋ x

Svar #2
23. september 2017 af KaspermedK

Ahhh den måde du gør det på forstår jeg ikke. :s

Brugbart svar (1)

Svar #3
23. september 2017 af swpply (Slettet)

Funktionen f er inden for en ε afstand af værdien L, såfremt at følgende er opfyldt

$L-\epsilon<f(x)<L+\epsilon$ .

Indsætter du derfor funktions forksirften for f i ovensåtende, finder vi at

$L-\epsilon<2x-1<L+\epsilon$

og en hurtig regingen senere har du at

$\frac{L + 1 -\epsilon}{2}<x<\frac{L+1+\epsilon}{2}$ .

Hvorfor x nødvendigvist må tilhøre intervallet

$x\in\bigg(\frac{L+1-\epsilon}{2},\frac{L+1+\epsilon}{2}\bigg) = (1.99, 2.01)$ .

NB. det kan være optil debat om hvorvidt man skal anvende "strenge" eller "svage" uligheder i regningerne ovenfor.

Jeg håber at dette bringer lidt lys på løsningen til opgaven.

Svar #4
23. september 2017 af KaspermedK

Jeg prøver at læse din metode, så vil jeg lige vende tilbage! Tak på forhånd

Brugbart svar (1)

Svar #5
23. september 2017 af swpply (Slettet)

Bare giv dig den tid du skal bruge :-)

Svar #6
23. september 2017 af KaspermedK

Ved du hvad mester, det gav sgu god mening. Mange tak! Kan du hjælpe med denne:

"In Exercises 7-10, find a number δ>0 such that if |x-a|<δ, then |f(x)-L| will be less than the given number ε".

Opg 7.

f(x)=3x+1, a=2, L=7 og ε=0.03

er det samme spilleregler som før?

Brugbart svar (1)

Svar #7
23. september 2017 af swpply (Slettet)

Ja, det er næsten samme slagplan du skulle rulle for dagen.

Start med følgende observation

L = f(a).

Hvorfor at |f(x)-L| < ε hvis (og kun hvis) |f(x)-f(a)| < ε. Dette er kun sandt såfremt at følgende er opfyldt

$f(a)-\epsilon<f(x)<f(a)+\epsilon$

og indsætter vi funtions udtrykket for f i ovenstående, finder vi at

$3a+1-\epsilon<3x+1<3a+1+\epsilon$

og dermed at

$a-\frac{\epsilon}{3}<x<a +\frac{\epsilon}{3} \qquad\Leftrightarrow \qquad \vert x-a\vert<\frac{\epsilon}{3}$ .

Der med kan vi slutte at hvis |x-a| < ε/3 ⇒ |f(x)-LI < epsilon. Hvorfor δ = ε/3.

Brugbart svar (1)

Svar #8
23. september 2017 af swpply (Slettet)

NB. at et sådan δ overhovedet eksitere er selvfølgeligt givet ved kontinuiteten af f.

Svar #9
23. september 2017 af KaspermedK

Nu har jeg leget lidt med det og set på din metode også, men jeg brugte den samme som i tidligere opgave, som også (heldigvis gav 0,01). Du er god til at forklare, mange tak for din hjælp! :-) God lørdag aften til dig!

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. september 2017 af swpply (Slettet)

Tak,

Godt at høre at du kom i mål og at du har fundet en "metode" til at løsse denne slags problemer.

"ε-δ" beviser/udregninger er nået man kun bliver god og hurtig til, ved at regne mange af den type opgaver.

Også god lørdag til dig :-)

Skriv et svar til: Epsilon delta, hjælp til en lille opgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.