Matematik

Domæne samt forståelse af spørgsmål

13. oktober 2017 af KaspermedK - Niveau: Universitet/Videregående

"The domain of the function f can be extended, i.e. it can be made bigger, so that f is a continuous function over the new extended domain. Explain how. What is the largest domain over which the function f can be extended as a continuous function?"

Hvordan skal jeg forstå dette? Funktionen er i øvrigt

$f(x)={{\rm e}^{-{\frac {1}{{x}^{2} \left( \sin \left( x \right) \right) ^{ 2}}}}}$

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. oktober 2017 af StoreNord

Måske det complexe domæne?

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. oktober 2017 af fosfor

Forskriften dur ikke når x sin(x) = 0, for disse x kan man dog vælge f(x) = 0, hvilket udvider f til en kontinuert funktion på R

Svar #3
13. oktober 2017 af KaspermedK

Der var også spørgsmål a

"What is the natural domain of definition of f ? Is the function f continuous over its domain?" og jeg har skrevet, at funktionen er defineret ved

$dom(f(x))=\left \{ x\in \mathbb{R} : x\neq k\pi, k\in \mathbb{Z}} \right \}$

Så spørgsmålet er, om jeg skal lave en gaffelfunktion`?

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. oktober 2017 af SådanDa

Tja, du skal vel afgøre om

$\lim_{x\rightarrow k\pi} f(x)$ eksisterer for alle forskellige heltal k.

Du vil så komme frem til, som nævnt i #2, at grænsen eksisterer og er 0 for alle k∈Z, så f(x) udvider til:

$h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{if } x \neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \\ 0 & \text{if } x=k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}$

som er en kontinuert funktion på hele R (eller i princippet C, men diskuteres vist reel analyse?)

Brugbart svar (1)

Svar #5
13. oktober 2017 af Therk

I gymnasiet lærer vi at udtryk som kaldes for en funktion. Det er ikke rigtigt. er funktionen i det tilfælde. Vi lærer også fx at "en funktion er givet ved , men det er heller ikke helt rigtigt. Vi mangler nemlig at specificere domænet og codomænet for funktionen. Fordi forskriften herover er væsentlig forskellig afhængigt af sit domæne og codomæne. Fx er der stor forskel på funktionerne

$\begin{align*} f: \{0\} \to \mathbb R, &\quad f(x) = x^2 \\ g:\mathbb R \to \mathbb R, & \quad g(x) = x^2 \end{align*}$

selvom forskriften er den samme. Den første funktion er bare en mapping fra nul til nul, mens den anden er andengradspolynomiet vi kender så godt. Læg også mærke til at i definitionen af g er codomænet større end billedmængden, da billedmængden er begrænset til de positive reelle tal.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Så mit spørgsmål er: Hvad giver de dig som det oprindelige domæne? Dernæst kommer så det mere interessante spørgsmål i #3: "What is the natural domain of definition of f?". Her kunne du så undersøge for hvilke værdier af x i forskriften for f giver mening.

Som du rigtigt nok bemærker, så vil et "maksimalt" domæne muligt med forskriften i #0 være domænet du har skrevet i #3. Du kan så vise at funktionen er kontinuert på domænet pånær et tælleligt antal punkter, hvor en udvidelse af funktionens forskrift (fx med et gaffeludtryk, ja), gør funktionen kontinuert overalt på de reelle tal.

Du kan derefter (evt., afhængig af niveau) være dristig og undersøge hvordan en funktion med domæne på de komplekse tal opfører sig med en forskrift som i #0.

Svar #6
13. oktober 2017 af KaspermedK

Interessant indlæg, Therk!

Ang. gaffelfunktionen, vil dette være forkert så?

$h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{if } x \neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \\ sin^2(x) & \text{if } x=k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}$

I øvrigt er niveauet calculus 2.

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. oktober 2017 af Therk

for $x=k\pi$ .

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. oktober 2017 af jmx (Slettet)

Skriv et svar til: Domæne samt forståelse af spørgsmål

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.