Matematik

Monotoniforhold og Areal af f(x)=(x+1)*e^-x

06. november 2017 af havheks99 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Sidder og kæmper lidt med denne opgave.. Kan ikke få det til at hænge sammen:

En funktion f er bestem ved $f(x)=(x+1)*e^-^x$

a) Bestem monotoniforholdene for f

Grafen for f afgrænser sammen med koordinatsystemets akser i anden kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

b) Bestem arealet af M

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. november 2017 af swpply (Slettet)

Hej,

Hvad præcist kæmper du med ?? Vil gerne hjælpe :-)

Brugbart svar (1)

Svar #2
06. november 2017 af swpply (Slettet)

a) Begynd med at bestemme den afledede af funktionen f:

$\begin{align*} f^\prime(x) &= e^{-x} - (x+1)e^{-x} \\ &= -xe^{-x} \end{align}$

Eftersom e^-x er forskellig fra nul for alle x, gælder der at

$\begin{align*} f^\prime(x) &= 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=0 \end{align}$

og eftersom

$\begin{align*} f^\prime(x) >0,\ \text{for alle } x<0 \intertext{og} f^\prime(x) <0,\ \text{for alle } x>0 \end{align}$

gælder der altså at (idet f er kontinueret) at f er voksende på (-∞,0), samt aftangende på (0,∞).

Brugbart svar (1)

Svar #3
06. november 2017 af swpply (Slettet)

b) Punktmægnden M er givet ved:

$M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid -1\leq x\leq0\ \wedge\ 0\leq y\leq f(x)\}$

Hvor dets areal er bestemt ved at integere f over (-1,0):

$A(M) = \int_{-1}^0 (x+1)e^{-x} dx \\ = \big[-(x+1)e^{-x}\big]_{-1}^0 + \int_{-1}^0 e^{-x} dx \\ = \big[-(x+2)e^{-x}\big]_{-1}^0 \\ = e-2$

Svar #4
06. november 2017 af havheks99 (Slettet)

Tusind tak HovedetPåSømmet!

Hvorfor er den afledede funktion =-xe^-x?

Hvad er det for en funktion du bruger til at finde punktmængden

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. november 2017 af swpply (Slettet)

du finder den afledede funktion ved produktreglen.

Lad g(x) = (x+1) og h(x) = e^-x. Obserber at f(x) = g(x)*h(x), hvorfor

$f^\prime(x) = g^\prime(x)h(x) + g(x)h^\prime(x) \\ =1\cdot e^{-x} + (x+1)\cdot(-e^{-x}) \\ = -xe^{-x}$ .

Jeg bruger ingen funktund til at bestemme punktmængden. Det oplyses at punktmængden ligger i anden kvadrant, dvs (x,y) forhvilken x≤0 og y≥0. At mængden ydeligere er afgrænset af akserne, betyder at x tilhøre intervallet (-1,0) idet f(x) = 0 for x=-1. Altså har du at mængden M kan skrives som

$M\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid-1\leq x\leq0\ \wedge\ 0\leq y \leq f(x)\}$

Skriv et svar til: Monotoniforhold og Areal af f(x)=(x+1)*e^-x

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.