Matematik

Funktioner

04. december 2017 af pokemonorm - Niveau: A-niveau

Goddag alle sammen.

Jeg har lige et spørgsmål til, hvordan disse opgaver løses.

En funktion f er bestemt ved $f(x)=8*(\frac{1}{2})^x, x\geq 0$
For et hvert tal t afgrænser koordinatsystemts førsteakse og andenakse samt grafen for f og linjen med ligningen x=t en punktmængde, der har et areal. Dette areal betegnes A(t).

Beregn A(1)

Bestem A(t)

Bestem lim A(t)
t--> uendeligt
En punktmængde M er bestemt ved
M={(x,y)}l 1 $\leq$ $x\leq 2\Lambda 0\leq y\leq f(x)$ }

Beregn veded hjælp af stamfunktioner rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når
M drejes 360 grader om førsteaksen.

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. december 2017 af peter lind

A(t) = ∫₀^tf(x)dx

Brugbart svar (0)

Svar #2
05. december 2017 af mathon

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! A(t)=\int _{0}^{t}8\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^x\mathrm{d}x=8\int _{0}^{t}\left ( \frac{1}{2} \right )^x\mathrm{d}x=8\cdot\left [\frac{1}{\ln\left ( \frac{1}{2} \right )}\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^x \right ]_{0}^{t}=-\frac{8}{\ln(2)}\cdot \left [2^{-x} \right ]_{0}^{t}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. december 2017 af mathon

$\small \small A(\infty)=-\frac{8}{\ln(2)}\cdot \left [2^{-x} \right ]_{0}^{\infty}=-\frac{8}{\ln(2)}\cdot\left ( 0-1 \right )=\frac{8}{\ln(2)}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. december 2017 af mathon

Volumen af omdrejningslegeme:

$\small V_x=\pi \cdot \int_{0}^{2}\left (8\cdot 2^{-x} \right )^2\mathrm{d}x=64\pi \cdot \int_{0}^{2}\left ( 2^2 \right )^{-x}\mathrm{d}x=64\pi \cdot \int_{0}^{2}4^{-x}\mathrm{d}x=$

$\small \! \! \! \! \! \! \! -\frac{64\ pi}{\ln(4)} \cdot \left [ 4^{-x} \right ]_{0}^{2}=-\frac{64\pi}{\ln(4)} \cdot \left ( 4^{-2}- 4^{-0} \right )=-\frac{64\pi}{\ln(4)} \cdot\left ( \frac{1}{16} -1\right )=\frac{64\pi }{2\ln(2)}\cdot \frac{15}{16}=\frac{30\pi }{\ln(2)}$

Skriv et svar til: Funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.