Matematik

Parameterfremstilling og ret linje

19. februar 2018 af Egofaciens (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg kender formlen for retningsvektoren, men kan stadig ikke få opgaven til at give mening?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-02-19 kl. 18.25.43.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
19. februar 2018 af mathon

$\small \textup{Linjen}$
   $\small \small 3x-y-2=0$
$\small \textup{har normalvektor}$
   $\small \overrightarrow{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} 3\\-1 \end{smallmatrix}\bigr)$
$\small \textup{og dermed}$
$\small \textup{retningsvektorerne:}$
      $\small \overrightarrow{r}=k\cdot \widehat{\overrightarrow{n}}=k\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} 1\\3 \end{smallmatrix}\bigr)$

Svar #2
19. februar 2018 af Egofaciens (Slettet)

Okay, tak!

Brugbart svar (1)

Svar #3
19. februar 2018 af ringstedLC

En ret linje har uendeligt mange normal- og retningsvektorer. Disse tre udtryk giver den samme linje, men tre forskellige normalvektorer:

$\begin{align*} 3x-y-2&=0\Rightarrow \vec n_1=\binom{3}{-1}\\ 27x-9y-18&=0\Rightarrow \vec n_2=\binom{27}{-9}\\ -3x+y+2&=0\Rightarrow \vec n_3=\binom{-3}{1}\\ \end{align}$

Alle en linjes normalvektorer har dog forholdet mellem n₁ og n₂ til fælles.

$\begin{align*} \vec n_1=\binom{3}{-1}\Rightarrow\frac{3}{-1}=-3\\ \vec n_2=\binom{27}{-9}\Rightarrow\frac{27}{-9}=-3\\ \vec n_3=\binom{-3}{1}\Rightarrow\frac{-3}{1}=-3\\ \end{align}$

Det samme gælder naturligvis for retningsvektorerne.

1. I henhold til #1 skal l have en retningsvektor, der hedder:

$\begin{align*} \vec r_1=\binom{1}{3}&\Rightarrow\frac{1}{3} \cong 0.33\\ Afg\o r \; om\; \vec v_1 \;\binom{-2.5}{-7.5} \;&er \;en \;retningsvektor\Downarrow\\ \binom{-2.5}{-7.5}&\Rightarrow\frac{-2.5}{-7.5}\cong0.33 \end{align}$

Da forholdet er det samme, er vektoren også en retningsvektor for l.

$\begin{align*} \vec n=\binom{3}{-1}&\Rightarrow\frac{3}{-1}=-3\\ Afg\o r \; om\; \vec v_2 \;\binom{9}{-2.5} \;&er \;en \;normalvektor\Downarrow\\ \binom{9}{-2.5}&\Rightarrow\frac{9}{-2.5}=-3.6 \end{align}$

Da forholdet ikke er det samme, er vektoren ikke en normalvektor for l.

3. En linje m, der er vinkelret på l, må have l's normalvektor som retningsvektor.

Den indeholder punktet (2,0):

$\begin{align*} \vec n_{(l)}=&\binom{3}{-1}=\vec r_{(m)}, \;l\perp m\Downarrow\\ m: \binom{x}{y}&=\binom{2}{0}+t\cdot \binom{3}{-1}\Downarrow\\ x&=2+3t\\ y&=-t\Rightarrow t=-y\Downarrow\\ x&=2+3(-y)\Downarrow\\ x&+3y-2=0 \end{align}$

Skriv et svar til: Parameterfremstilling og ret linje

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.