Monotoniforhold - Også når der er 1 punkt? - Matematik

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. februar 2018 af Mathias7878

Hvad er opgaven? Hvis det har noget at gøre med optimering, er det en god ide for at kunne argumentere for, at det er den mindste/og eller største værdi af x.

- - -

Svar #2
20. februar 2018 af Roxanna

Jeg skal beregne de mindst mulige mål til sider af nogle figurer, herunder en kegle. Jeg har opstillet nogle ligninger og er kommet frem til en funktion. Den har jeg differenet og derefter sat = 0. Derfra har jeg fået 1.47. Men skal jeg så stadig argumentere for at det er den mindste værdi siderne skal have?

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. februar 2018 af Mathias7878

Det ville jeg gøre, men jeg ved ikke, om man skal gøre det.

- - -

Svar #4
20. februar 2018 af Roxanna

Okay, indebærer "bestemme monotoniforhold" at lave fortegnsbestemmelse eller kunne man plotte en graf? Jeg har f.eks. lavet en graf som viser at det er en minimumsværdi, men er det egentlig at bestemme monotoniforhold?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-02-20 kl. 20.50.06.png

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. februar 2018 af Mathias7878

Det indebærer, at du skal løse f'(x) = 0 og derefter finde fortegnsvariationen for f'. Ud fra det kan du afgøre, hvorvidt der er tale om et minimum eller maksimum.

Et minimum haves hvis f'(x) går fra at være negativ til positiv mellem nulpunktet. Et maksimum haves hvis f'(x) går fra at være positiv til negativ mellem nulpunktet.

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. februar 2018 af mathon

$\small \small \textup{...\textit{"mellem nulpunktet"} er n\ae ppe en p\ae dagogisk h\aa ndsr\ae kning.}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. februar 2018 af AMelev

#2
Ja, du skal argumentere for, at der er min.
f '(x) = 0 fortæller jo kun, at der er vandret tangent i punktet, der kunne jo også være max eller vandret tangent.

#4
Når du har vist, at der kun er det ene nulpunkt for f ', er det OK at henvise til grafen og skrive, at "På grafen ses, at det fundne nulpunkt for f ' er minimumspunkt for f".
NB! Det kræver selvfølgeligg, at dit grafvindue dækker området omkring det fundne nulpunkt for f '.

Svar #8
21. februar 2018 af Roxanna

Men jeg forstår ikke helt hvorfor jeg skal afgøre om 1.47 er et minimum eller maksimumspunkt, for er det ikke bare det som siderne skal være? Er det det siderne skal være mindst, hvis 1.47 er minimum og er det det som siderne skal være maksimalt, hvis det er maksimumspunkt?

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. februar 2018 af mathon

For en kontinuert funktion f, for hvilken
det gælder, at
$\small f{\, }'(x_o)=0$
ved du kun, at funktionen har ekstremum i x_o,
men ikke om dette ekstremum er minimum eller maksimum.

Monotonien for f bestemmes af fortegnsvariationen for $\small f{\, }'(x_o)$ .

Hvis fortegns variationen for $\small \small f{\, }' (x)$ i en lille omegn $\small \omega (x_o)$ om x_o
er:
+ 0 - har f lokalt/globalt maksimum

- 0 + har f lokalt/globalt minimum

Du skal derfor undersøge, hvilket ekstremum der er tale om.
Når dette er gjort, er argumentationen ikke så vanskelig.

Svar #10
21. februar 2018 af Roxanna

Undskyld jeg er bsværlig, men jeg forstår det stadig ikke. For punktet 1.47 er vel bare hvad siderne skal være? Det vil vel ikke give mening at det er hvad siderne skal være mindst (Hvis 1.47 er minimum) eller siderne skal være maksimalt (hvis 1.47 er maksimum)? Kan man godt sige det?

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. februar 2018 af AMelev

Når man taler minimum og maksimum er mindste hhv. største funktionsværdi (y-værdi).
Du har fundet, at der er vandret tangent i x = 1.47.
Så kan du på grafen se, om der i x = 1.47 er top (maksimum) eller bund (minimum) - eller evt. vandret vendetangent.

Svar #12
21. februar 2018 af Roxanna

Okay, men skal jeg så tolke det som at det er sidernes minimumsværdi? Altså hvad de mindst skal være?

Brugbart svar (0)

Svar #13
21. februar 2018 af AMelev

Læg lige et billede af opgaveformuleringen op - jeg er usikker på, hvad det egentlig er, du optimerer.

Svar #14
21. februar 2018 af Roxanna

værsgo:

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-02-21 kl. 17.01.08.png

Brugbart svar (0)

Svar #15
21. februar 2018 af mathon

$\small V_{kasse}= h\cdot x^2=10$
$\small h=\tfrac{10}{x^2}$ $\small \textup{Da intet andet er n\ae vnt, formodes grundfladen kvadratisk.}$

$\small O_{kasse}(x)=x^2+4\cdot h\cdot x=x^2+\tfrac{40}{x}$

…

$\small V_{cyl}=h \cdot \pi\cdot r^2=10$
$\small h=\tfrac{10}{\pi \cdot r^2}$

$\small O_{cyl}=\pi \cdot r^2+h\cdot 2\pi r=\pi \cdot r^2+\tfrac{10}{\pi r^2}\cdot2 \pi r=\pi r^2+\tfrac{20}{r}$

$\small O_{cyl}(r)=\pi r^2+\tfrac{60}{r}$

…

$\small V_{kegle}=\tfrac{1}{3}\cdot h \cdot \pi\cdot r^2=10$
$\small h=\tfrac{30}{\pi \cdot r^2}$

$\small \small O_{kegle}=\pi \cdot r\cdot \sqrt{h^2+r^2}=\pi \cdot r\cdot \sqrt{\tfrac{900}{\pi ^2r^4}+r^2}$

$\small O_{kegle}(r)=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot \sqrt{\tfrac{900}{\pi ^2r^4}+r^2}$

Brugbart svar (0)

Svar #16
21. februar 2018 af mathon

Find overflademinimum for alle tre og sammenlign efterfølgende.

Svar #17
21. februar 2018 af Roxanna

Ok, så jeg skal ikke afgøre om 1.47 er noget maksimum/minimum?

Brugbart svar (0)

Svar #18
21. februar 2018 af mathon

$\small \textup{korrektion:}$
$\small O_{kegle}(r)=\pi \cdot r\cdot \sqrt{\tfrac{900}{\pi ^2r^4}+r^2}$ $\small \textup{uden l\aa g.}$

Brugbart svar (0)

Svar #19
21. februar 2018 af AMelev

#4 Den graf, du har lagt op, hvad skulle den vise?

Kassen $\small O(x)=x^2+4\cdot h\cdot x=x^2+\tfrac{40}{x}$

$\small O'(x)=2x-\tfrac{40}{x^2}$
$\small O'(x)=0\ \small \Leftrightarrow 2x-\tfrac{40}{x^2}=0\Leftrightarrow 2x=\tfrac{40}{x^2} \Leftrightarrow 2x^3=40\Leftrightarrow x^3=20\Leftrightarrow$
$\small x=\sqrt[3]{20}=2.71442$ , eller du kan løse ligningen med dit CAS-værktøj.

På grafen for O(x) ses, at det fundne nulpunkt x = 2.7 for O' er min-punkt for O
O(2.71442) = 22.1 Det mindste overfladeareal for kassen er 22.1 m²

På samme måde finder du mindste overfladeareal for de to andre former.

Vedhæftet fil:Min_kasse.JPG

Svar #20
21. februar 2018 af Roxanna

Min graf viste egentlig grafen for punktet 1.47

Har du nogen idé om hvordan man kan lave sådan en graf i Maple?

Vent, vil det sige at 1.47 afgører at 22.1 er det mindste overfladeareal fordi det er minimumsværdi for O?