Matematik

Bestem centrum i cirklen

26. februar 2018 af Jb123 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hjææælp hvordan gør jeg?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-02-26 kl. 12.06.57.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. februar 2018 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. februar 2018 af Mathias7878

$\small (x-3)^2-3^2+(y-7)^2-7^2+(z+1)^2-1^2+34 = 0$

$\small (x-3)^2+(y-7)^2+(z+1)^2 = -34+3^2+7^2+1^2$

$\small (x-3)^2+(y-7)^2+(z+1)^2 = 25$

Dvs

$\small C = (3,7,-1) \ \textup{og} \ r = \sqrt{25} = 5$

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. februar 2018 af mathon

$\textup{Ved kvadratkomplettering }$
$\textup{f\aa s: }$
$\small \left (x-3 \right )^2-9+\left (y-7 \right )^2-49+\left (z+1 \right )^2-1+34=0$

$\small \left (x-3 \right )^2+\left (y-7 \right )^2+\left (z-(-1) \right )^2+34=5^2$

$\small C(3,7,-1)$ $\small r=5$

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. februar 2018 af Mathias7878

Det er faktisk meget nemt. Men jeg kan ikke forklare, hvorfor man gør, som man gør. Du skal ligesom halvere alle leddene og så opløfte det i anden. Du skal derefter trække det tal, der står inde i parentesen fra i anden. Så flytter man alle tallene over på højre siden og reducerer, og bagefter aflæser man centrum og radius.

Det er vist det, der kaldes for kvadratkomplementering.

- - -

Svar #5
26. februar 2018 af Jb123 (Slettet)

Hvad er det helt præcist der sker i første step? Altså hvor er det (x-3)^2 kommer fra? og (y-7)^2?

Brugbart svar (0)

Svar #6
26. februar 2018 af mathon

$\small \small \textup{I f\o rste step anvendes omskrivningen:}$

$\small a^2+2ab=(a+b)^2-b^2$ $\small \textup{tre gange.}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. februar 2018 af mathon

$\small \textup{F\o lgelig kan den generelle omskrivning}$
$\small \textup{noteres:}$
$\small x^2+2ex+y^2+2fy+z^2+2gz+h=0$

$\small C(-e,-f,-g)$ $\small \small r=\sqrt{e^2+f^2+g^2-h}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. februar 2018 af mathon

kvadratkomplementering $\small \rightarrow$ kvadratkomplettering (gøre komplet kvadratisk jvf kvadratsætning)

Svar #9
26. februar 2018 af Jb123 (Slettet)

Hvordan er det man anvender den der omskrivning?

Brugbart svar (0)

Svar #10
26. februar 2018 af mathon

$\small \small \small x^2\underset{dobbelte \; pr\! odukt}{\underbrace{-6x}}=x^2-2\cdot x\cdot \mathbf{\color{Red} 3}=(x-\mathbf{\color{Red} 3})^2-\mathbf{\color{Red} 3}^2=(x-3)^2-9$

Svar #11
26. februar 2018 af Jb123 (Slettet)

Hvorfor er x^2-6x = x^2 -2*x*3?

Brugbart svar (0)

Svar #12
26. februar 2018 af mathon

$\small {\color{Cyan} }\textup{Det dobbelte produkt er}$
$\small -6x$

$\small \textup{selve produktet er:}$
$\small -3\cdot x$

$\small \textup{den ene faktor er x}$

$\small \textup{s\aa \ den anden faktor er -3}$

$\small \textup{de to led i den kvadrerede parentes }$
$\small \textup{skal derfor v\ae re x og -3: }$

$\small (x-3)^2$

Brugbart svar (0)

Svar #13
26. februar 2018 af mathon

$\small \textup{Pr\o v at tage udgangspunkt i f\o lgende}$
$\small \textup{(du kan vel dine kvadrats\ae tninger)}$

   $\small \left ( a\pm b \right )^2=a^2\pm 2ab+b^2$
$\small \textup{hvoraf f\o lger:}$
   $\small a^2\pm 2ab=\left ( a\pm b \right )^2-b^2$

Brugbart svar (0)

Svar #14
26. februar 2018 af AMelev

Kan det evt. hjælpe at køre "baglæns"?

En kugle med centrum C(x0,y0,z0) og radius r har ligningen (x - x0)² + (y - y0)² + (z - z0)² =r², som vha. af kvadratsætningerne (jf. #13) kan om,skrives til
x² - 2x0·x + x0² + y² - 2y0·y + y0² + z² - 2z0·z +z0² = r²

Du har x² - 6x + y² - 14y + z² + 2z = -34

Af x-leddene får du, at - 2x0·x = -6x ⇔ x0 = 3, så mangler du det tredje led x0² = 9, så det lægger du til på begge sider af "="

Af y-leddene får du, at - 2y0·y = -14y ⇔ y0 = 7, så mangler du det tredje led y0² =49, så det lægger du til på begge sider af "="

Af x-leddene får du, at - 2z0·z = 2z ⇔ z0 = -1, så mangler du det tredje led z0² = 1, så det lægger du til på begge sider af "="

x² - 2·3·x+ 3² + y² - 2·7 · y + 7² + z² - 2 · 1·z +1² = -34 + 9 +49 +1 = 25
Når du så Indsætter får du (x - 3)² + (y - 7)² + (z + 1)² =5², så centrum er C(3,7,-1) og radius er 5, som #2 og #3 også angiver.

Skriv et svar til: Bestem centrum i cirklen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.