Matematik

cirkel med to tangenter parrallelle med m

11. april 2018 af selvstuderende (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, med jer skønne mennesker

Jeg har en opgave jeg har vedhæftet: En cirkel med centrum i C(2,3) og radius 4
en linje m har lingingen 4x-2y+18=0
Denne linje er ikke tangent med cirklen

Jeg skal have hjælp til opg 2 der lyder: Cirklen har to tangenter, der er parallelle med m
Bestem koordinatsættene til røringspunkterne for disse
m: 4x-2y +18=0 er vel det samme som y=2x+9

De to tangenter må derfor have en hældning på 2x
Men hvordan finder jeg frem til b? Og hvad skal jeg gøre?

Håber nogen kan hjælpe! God aften :)

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-04-11 kl. 17.25.10.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
11. april 2018 af peter lind

Normalvektoren til m er også normalvektor til de to tangenter. Hvis du tager en linje gennem C med en retningsvktor = ltværvektoren, vil den skærer cirklen i de ønskede punkter

Brugbart svar (1)

Svar #2
11. april 2018 af AMelev

#0 Hældningen er ikke 2x, men 2.

Tangenterne skal stå vinkelret på radius i røringspunktet, så retningsvektoren for linjen gennem centrum C og røringspunket er normalvektoren til tangenten, som #1 skriver.

Bestem parameterfremstillingen for denne "radiuslinje" og bestem skæringspunkterne mellem den og cirklen ved at indsætte parameterudtykkene for x og y i cirklens ligning og løse den mht. t.
Indsæt de fundne t-værdier i parameterfremstillingen, så har du røringspunkterne.
Så har du et punkt og hældningen for hver af dem og kan bestemme ligningerne.

Svar #3
11. april 2018 af selvstuderende (Slettet)

Hej Peter og AM

1000 tak for jeres svar

Jeg har nu fået en ortogonallinje til y=2x+9 som hedder y= - 1/2x + 4

Undskyld jeg er helt ude af den i dette emne. Hvad er der I foreslår at jeg skal gøre herfra?

Brugbart svar (1)

Svar #4
11. april 2018 af AMelev

Så indsætter du i cirklens ligning og løser mht. x

Brugbart svar (1)

Svar #5
11. april 2018 af peter lind

Finde dens skæring med cirklen. Brug ligningen til at eliminere y i cirlens ligning. du får en 2.grads ligning i x, som du må løse

En noget lettere metode: afsæt normalvektoren med længden 4 ud fra centrum. Det giver cirkens røringspunkter

Svar #6
11. april 2018 af selvstuderende (Slettet)

nåååå...!
jeg har nu sat ligningen ind på y's plads og får x=5.5778 og x=-1.5778
Så sætter jeg det ind på x'plads og får y til at være
4.788 og y=1.21

derved får jeg punktet (5.58, 1.21) og (-1.578,4.79)
Er det forstået korrekt?

Brugbart svar (1)

Svar #7
11. april 2018 af guuoo2 (Slettet)

Du har omskrevet linjeligningen til
y=2x+9

og det er rigtigt at tangenternes hældningen er det samme.
Derfor er deres ligning
y=2x+b

Da C(2,3) og radius 4, så er cirkelligningen er (x-2)² + (y-3)² = 16
For at finde cirklens skæring med y=2x+b, så indsættes denne i cirklensligning, som så bliver en andengradsligning mht. x

(x-2)² + (2x+b-3)² = 16

Hvis du ganger ud, så får ligningen formen Ax² + Bx + C = 0, og dermed kan du beregne diskriminanten, som bliver D = 316 - 8b - 4b²

y = 2x+b er tangent hvis der er præcis 1 skæring med cirklen, dvs. diskriminanten skal være 0.

0 = 316 - 8b - 4b²

Løsningen hertil giver b'erne i tangenternes ligning y = 2x+b

Svar #8
11. april 2018 af selvstuderende (Slettet)

Smart. De var det de andre ville forklare mig.
Tak for hjælpen, og god aften alle sammen!

Det hele har løst sig :) -tak endnu en gang

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. april 2018 af AMelev

#6 Ja, så skal du bestemme tangentlinjerne, hvor du kender hældningskoefficienten og et punkt.

Og du skulle gerne ende med

Vedhæftet fil:Cirkel.JPG

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. april 2018 af mathon

$\small \small \textup{som foresl\aa et i }\textbf{\#5}$

$\small \textup{N\aa r r\o ringspunktet kaldes R}$
$\small \textup{har man:}$

m har lingingen 2x-y+9=0 $\small \textup{med normalvektor }\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 2\\-1 \end{pmatrix} \textup{ og }\left | \overrightarrow{n} \right |=\sqrt{5}$
$\small \textup{Da tangenterne er parallelle med m, har de samme normalvektor som m og dermed}$
$\small \textup{ligningerne:}$

$\small \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OC}\mp r\cdot \frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=\overrightarrow{OC}\mp \frac{r}{\left | \overrightarrow{n} \right |}\cdot \overrightarrow{n}$

$\small \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}\mp \frac{4}{\sqrt{5}}\cdot \begin{pmatrix} 2\\-1 \end{pmatrix}$

$\small R_1=\left ( x,y \right )=\left(2-\tfrac{8}{\sqrt{5}},3+\tfrac{4}{\sqrt{5}}\right)\approx \left ( -1.578,4.789 \right )$

$\small R_2=\left ( x,y \right )=\left(2+\tfrac{8}{\sqrt{5}},3-\tfrac{4}{\sqrt{5}}\right)\approx \left ( 5.578,1.211 \right )$

Skriv et svar til: cirkel med to tangenter parrallelle med m

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.