Matematik

Bestem integralet

28. april 2018 af Jb123 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, jeg vil gerne have hjælp til at skulle bestemme integralet uden hjælpemidler.. Jeg har vedhæftet opgaven og jeg har væretr igang, men er gået i stå. Vedhæfter min besvarelse som kommentar til dette opslag. Jeg ved der er to måder at udregne det på, men vil helst den metode som jeg har været igang med at bruge

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-04-28 kl. 10.12.42.png

Svar #1
28. april 2018 af Jb123 (Slettet)

Hvad jeg har fundet ud af indtil videre

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-04-28 kl. 10.09.27.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. april 2018 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. april 2018 af mathon

$\small \int_{0}^{1}\frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d} x=\int_{1}^{2}\frac{1}{t}\,\mathrm{d} t=\left [\ln(t) \right ]_{1}^{2}=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)-0=\ln(2)$

hvis du havde forkortet med 2 til sidst, var du endt med samme resultat :-)

Svar #4
28. april 2018 af Jb123 (Slettet)

Forstår ikke lige helt de sidste steps nemlig.. Altså hvad er det helt præcist man gør og hvorfor får du det til 1/t dt ??

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. april 2018 af mathon

$t=x^2+1$ $\tfrac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=2x\Leftrightarrow2x\, \mathrm{dx}=\mathrm{dt}$

$\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\longrightarrow \begin{matrix} 2\\1 \end{matrix}$

$\int_{0}^{1}\frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^2+1}\,2x\mathrm{d} x=\int_{1}^{2}\frac{1}{t}\,\mathrm{d} t$

Svar #6
28. april 2018 af Jb123 (Slettet)

Finder du ikke de ubestemte integrale der? Kan man ikke gøre det uden at finde det fordi er ikke 100% sikker på hvordan amn gør det

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. april 2018 af mathon

Det ubestemte integral er en funktion, hvori indgår en arbitrær konstant.

Med grænser - dvs det bestemte integral - bortreduceres den arbitrære konstant altid, hvorfor man kan
negligere den.

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. april 2018 af mathon

$\small \int \frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d} x=\int \frac{1}{t}\,\mathrm{d} t=\ln(t)+k=\ln(x^2+1)+k$

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d} x=\left [\ln(x^2+1)+k \right ]_{0}^{1}=\ln(1^2+1)+k-(\ln(0^2+1)+k)=\ln(2)+k-\ln(1)-k=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)$

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. april 2018 af mathon

$\small \textbf{detaljer:}$

$\small \left (F(g(x)) \right ){}'=F{\, }'(g(x))\cdot g{\, }'(x)=f(g(x))\cdot g{\, }'(x)$
$\small \textup{hvoraf:}$
$\small \int f(g(x))\,\mathrm{d} x=F(g(x))+k$

$\small \textup{s\ae ttes}$
$\small t=g(x)$
$\small \textup{haves:}$
$\small \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=g{\, }'(x)\Leftrightarrow\mathrm{d} t=g{\, }'(x)\,\mathrm{d} x$
$\small \textup{hvoraf man f\aa r:}$

$\small \int_{a}^{b} f(g(x))\,\mathrm{d} x=F(g(b))-F(g(a))=\left [F(t) \right ]_{g(a)}^{g(b)}=\left [F(t) \right ]_{\alpha =g(a)}^{\beta=g(b) }=\int_{\alpha =g(a)}^{\beta =g(b)} f(t)\,\mathrm{d} t$

Skriv et svar til: Bestem integralet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.