Løsning til differentialligning!

Er du nu sikker på at du har det rette funktionsudtryk for f?

Med udtrykket b _*a ^x anvendes tre-trinsreglen for at bestemme differentialkvotienten, hvor man undervejs når frem til differenskvotienten

                                                                       a ^x _*(a ^h -1) / h

Tages grænseværdien til kvotienten får man ln(a)_* a ^x. Her udnyttes bl.a. resultatet

                                                          lim_h -> 0 [ (a ^h -1) / h ] = ln(a).

...

Redegør for f(x) = b * a^x er løsning til differentialligningen y' = k * y.

Mange tak for svarene, kan se at jeg slet ikke var i nærheden af svaret i første omgang.

Jeg har dog utroligt svært ved at bruge tre-trins reglen i denne sammenhæng (jeg tænker at jeg bliver nød til at vise hele udregningen til eksamen), har én af jer lyst og tid til at give et eksempel med denne funktion?

#0

Redegør for f(x) = b * a^x er løsning til differentialligningen y' = k * y.

Jeg er med på at jeg skal differentiere f(x), så det bliver til y' og ligeledes indsætte f(x) på y's plads. Mit problem er når jeg differentierer får Nspire det til f '(x) = ln(a)*b*a^x

Du var i den grad i nærheden af svaret og bruger en korrekt metode. Du har også ganske rigtigt et problem, men det ligger i opgaveformuleringen, hvis du har angivet den korrekt.
y' = k · y ⇔ ln(a)·b·a^x = k·b·a^x  ⇔ ln(a) = k ⇔ a = e^k.
 f(x) = b·a^x er løsning til differentialligningen y' = k · y, hvis a = e^k - ellers ikke.

#0...Redegør for f(x) = b * a^x er løsning til differentialligningen y' = k * y...Mit problem er når jeg differentierer får Nspire det til f '(x) = ln(a)*b*a^x.

Den er god nok. Det betyder jo bare, at k = ln(a), da a er en konstant. 

Opgaveformuleringen er angivet korrekt, jeg har lige dobbelt tjekket.

Den sidste udfordring jeg har ved redegørelsen er hvordan b · a^x differentieret, giver ln(a) · b · a^x.

Jeg kan godt forklare resten af redegørelsen, altså hvordan :

f ' (x) = b · (a^x )' = b · ln(a) · a^x = ln(a) · (b · a^x) = k · f(x)

Men hvis der spørges hvor ln(a) kommer fra, er jeg blank. Jeg beklager hvis svaret allerede er givet, jeg kan bare ikke lige se det :-)

a^x kan omskrives og differentieres som en sammensat funktion, som anivet i # 3.

e^ln(a)·x : t = ln(a)·x → y = e^t

Ang. opgaveformulering: Du kan ikke gøre rede for, at f er løsning, for der er den ikke, med mindre a tilfældigvis er e^k. Der burde have stået "Undersøg om ...."