Matematik

Løsning til differentialligning!

27. maj kl. 01:11 af failzorningz - Niveau: A-niveau

Jeg er igang med at forberede besvarelser til eksamensspørgsmål og jeg kæmper med følgende:

Redegør for f(x) = b * a^x er løsning til differentialligningen y' = k * y.

Jeg er med på at jeg skal differentiere f(x), så det bliver til y' og ligeledes indsætte f(x) på y's plads. Mit problem er når jeg differentierer får Nspire det til f '(x) = ln(a)*b*a^x

Differentialkvotienterne siger at når en konstant ganges på en funktion, så bliver den stående når man differentierer (derfor bliver b stående). MEN hvorfor og hvor fra kommer ln(a)? Jeg kan simpelthen ikke finde hvilken regel der siger det eller forklarer hvordan jeg kommer fra det ene til det andet?

Håber der er nogle skarpe hoveder som kan hjælpe!


Brugbart svar (0)

Svar #1
27. maj kl. 01:24 af Anders521

Er du nu sikker på at du har det rette funktionsudtryk for f?


Brugbart svar (0)

Svar #2
27. maj kl. 02:05 af Anders521

Med udtrykket b *a x anvendes tre-trinsreglen for at bestemme differentialkvotienten, hvor man undervejs når frem til differenskvotienten

                                                                       a x *(a h -1) / h

Tages grænseværdien til kvotienten får man ln(a)* a x. Her udnyttes bl.a. resultatet

                                                          lim_h -> 0 [ (a h -1) / h ] = ln(a).


Brugbart svar (1)

Svar #3
27. maj kl. 08:07 af mathon

               \small a^x   \small \textup{er for }a>0 \textup{ defineret identisk med }e^{x\cdot \ln(a)}
\small \textup{hvoraf:}
               \small {\color{Red} \left ( a^x \right ){\, }'}=\left ( e^{x\ln(a)} \right ){}'=e^{x\ln(a)}\cdot \ln(a)={\color{Red} \ln(a)\cdot a^x}             \small \textup{da }e^x\textup{ er sin egen afledede.}

...

Redegør for f(x) = b * a^x er løsning til differentialligningen y' = k * y.

               \small f{\, }'(x)=b\cdot \left ( a^x \right ){\, }'=b\cdot \ln(a)\cdot a^x= \ln(a)\cdot \left ( b\cdot a^x \right )=k\cdot f(x)  


Svar #4
27. maj kl. 10:27 af failzorningz

Mange tak for svarene, kan se at jeg slet ikke var i nærheden af svaret i første omgang.

Jeg har dog utroligt svært ved at bruge tre-trins reglen i denne sammenhæng (jeg tænker at jeg bliver nød til at vise hele udregningen til eksamen), har én af jer lyst og tid til at give et eksempel med denne funktion?


Brugbart svar (1)

Svar #5
27. maj kl. 13:57 af AMelev

#0

Redegør for f(x) = b * a^x er løsning til differentialligningen y' = k * y.

Jeg er med på at jeg skal differentiere f(x), så det bliver til y' og ligeledes indsætte f(x) på y's plads. Mit problem er når jeg differentierer får Nspire det til f '(x) = ln(a)*b*a^x

Du var i den grad i nærheden af svaret og bruger en korrekt metode. Du har også ganske rigtigt et problem, men det ligger i opgaveformuleringen, hvis du har angivet den korrekt.
y' = k · y ⇔ ln(a)·b·ax = k·b·ax  ⇔ ln(a) = k ⇔ a = ek.
 f(x) = b·aer løsning til differentialligningen y' = k · y, hvis a = ek - ellers ikke.


Brugbart svar (0)

Svar #6
27. maj kl. 14:10 af Soeffi

#0...Redegør for f(x) = b * a^x er løsning til differentialligningen y' = k * y...Mit problem er når jeg differentierer får Nspire det til f '(x) = ln(a)*b*a^x.

Den er god nok. Det betyder jo bare, at k = ln(a), da a er en konstant. 


Svar #7
27. maj kl. 14:11 af failzorningz

Opgaveformuleringen er angivet korrekt, jeg har lige dobbelt tjekket.

Den sidste udfordring jeg har ved redegørelsen er hvordan b · ax differentieret, giver ln(a) · b · ax.

Jeg kan godt forklare resten af redegørelsen, altså hvordan :

f ' (x) = b · (a)' = b · ln(a) · ax = ln(a) · (b · ax) = k · f(x)

Men hvis der spørges hvor ln(a) kommer fra, er jeg blankJeg beklager hvis svaret allerede er givet, jeg kan bare ikke lige se det :-)


Brugbart svar (1)

Svar #8
27. maj kl. 14:43 af AMelev

akan omskrives og differentieres som en sammensat funktion, som anivet i # 3.

eln(a)·x : t = ln(a)·x → y = et

Ang. opgaveformulering: Du kan ikke gøre rede for, at f er løsning, for der er den ikke, med mindre a tilfældigvis er ek. Der burde have stået "Undersøg om ...."


Skriv et svar til: Løsning til differentialligning!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.