Matematik

Bestem koordinatsættet til cirklens centrum og dens radius

27. maj 2018 af Jb123 - Niveau: A-niveau

Hej, jeg vil gerne have hjælp til denne opgave uden hjælpemidler:

En cirkel er bestemt ved ligningen:

x²+8x+y²-4y=10

bestem koordinatsættet til cirklens centrum og dens radius

Jeg ved jeg skal bruge cirklens ligning, som er (x-a)²+(y-b)²=r², men hvordan kan jeg ikke lige gennemskue.

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. maj 2018 af MatHFlærer

Denne side er god:

http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/geometri/omformning-af-cirklens-ligning

Hvis ikke det giver mening, så kan jeg give et eksempel, men prøv først :-)

---

Lad nu trådstarter prøve først, inden alle andre giver et svar på opgaven...... Det er sundere.

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. maj 2018 af Mathias7878

1: $\small (x+4)^2-4^2+(y-2)^2-2^2 = 10$

2: $\small (x+4)^2+(y-2)^2= 10+4^2+2^2=2 = 30$

3: aflæs C(a,b) og r

4: I princippet "halverer" man bare alle parenteserne og trækker det tal, der står inde i parentesen fra i anden, og så flytter man lidt rundt his og her.

- - -

Svar #3
27. maj 2018 af Jb123

#1 kunne godt bruge et eksempel

#2 hvordan ved du at a er 4 og b er -2 ??

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. maj 2018 af Mathias7878

Man laver omskrivningen:

$\small x^2 +8x = (x+4)^2-4^2 = x^2+8x+16-16 = x^2+8x$

- - -

Brugbart svar (1)

Svar #5
27. maj 2018 af MatHFlærer

Glimrende at du spørger!

Eksempel:

Vi ser på $x^2+y^2+2x-2y=6$ og vil gerne finde centrum og radius.

Det første vi ser er at $x^2+2x$ og $y^2-2y$ kommer fra kvadrater på toledede størrelser. Så vi skal finde ud af, hvad det sidste må være. Her er $2x$ og $-2y$ det dobbelte produkt.

Vi ser, at

${\color{Red} (x+1)^2}=x^2+1^2+2\cdot 1\cdot x=x^2+2x+1$

${\color{Blue} (y-1)^2}=y^2+1^2-2\cdot 1\cdot y=y^2-2y+1$

For at det skal kunne give det, som vi har i vores ligning $x^2+y^2+2x-2y=6$ må vi hellere trække

$1$ fra i det første tilfælde (rød ligning) og $1$ i det næste tilfælde (blå ligning), dvs.

$x^2+y^2+2x-2y=6\Leftrightarrow {\color{Red} (x+1)^2}-1+{\color{Blue} (y-1)^2}-1=6\Leftrightarrow$

$(x+1)^2+(y-1)^2=8$

Vi kan nu se, at koordinatsættet til centrum er $C(-1,1)$ og $r=\sqrt{8}$

Hvorfor skulle vi trække 1 fra i vores eksempel? Jo, se i vores ligning som vi startede med er

$x^2+y^2+2x-2y=6$

Dvs. vi kiggede nærmere på $x^2+2x$ og $y^2-2y$ . Det kommer ikke ud fra

$(x+1)^2$ og $(y+1)^2$ , for hvis man udregner paranteserne får man $x^2+2x+1$ og $y^2+-2y+1$ og det er de sidste 1-taller der skal væk for, at det vil stemme overens med vores angivende ligning fra begyndelsen af.

Jeg håber det her gav mening.

Brugbart svar (1)

Svar #6
27. maj 2018 af MatHFlærer

Et andet eksempel.

$x^2+y^2+4x-6y=-4$ lad os finde centrum og radius. Igen, så ser vi på

$x^2+4x$ og $y^2-6y$ . Igen er disse kvadrater på toledede størrelser, så vi skal finde ud af hvad kvadraterne er. Vi ser, at

$(x+2)^2$

$(y-3)^2$

Vil fungere, hvis vi trækker noget fra. Så hvad er "noget"? Vi udregner paranteserne.

$(x+2)^2=x^2+2^2+2\cdot x\cdot 2=x^2+4x+4$

$(y-3)^2=y^2+3^2-2\cdot y\cdot 3=y^2-6y+9$

Så trækker vi $4$ og $9$ fra, vil vores ligning stemme overens med den vi fik fra start, så

$x^2+y^2+4x-6y=-4\Leftrightarrow (x+2)^2-4+(y-3)^2-9=-4\Leftrightarrow$

$(x+2)^2+(y-3)^2=9$ og vi kan aflæse, at $C(-2,3)$ og $r=3$

Mit bedste råd er at træne så meget med de kvadratsætninger, så du bliver rigtig god til hurtigt at kunne se, hvad der mon kan fungere.

Svar #7
27. maj 2018 af Jb123

Okay, mange tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. maj 2020 af Sara123456789101

Hej, jeg har lige et spørgsmål til eksemplet med denne ligning x^2+y^2+2x-2y=6, hvorfor trækker man 1 fra på ventre side, men plusser med 1 på højre side?

Tak på forhånd:)

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. maj 2020 af ringstedLC

Der bliver ikke trukket 1 fra på venstre side:

$\begin{align*} x^2+y^2+2x-2y &= 6 \\ x^2+2x+y^2-2y &= 6 \\ \underset{(x+1)^2}{\underbrace{x^2+2x+1^2}}+ \underset{(y-1)^2}{\underbrace{y^2-2y+1^2}} &= 6+1^2+1^2 \\ \end{align*}$

Fortegnet af det dobbelte produkt bestemmer fortegnet i den toledede størrelse. Men fortegnet af ledenes kvadrater er altid plus.

Prøv at få det andet eksempel til at virke.

NB: Du og man "plusser" ikke med noget. Du lægger til eller adderer.

Skriv et svar til: Bestem koordinatsættet til cirklens centrum og dens radius

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.