Matematik

f(x)=kvadratrod x

10. juni 2018 af Line19010 - Niveau: A-niveau

Hej :)

En del af mit eksamensspørgsmål lyder at jeg skal bevise at f(x)=√x er differentiabel?

jeg har fundet grafen for dette og viser at den er differentiabel. men hvordan kan jeg ellers bevise dette?

Tak

Mvh sophia

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. juni 2018 af sjls

Benyt tretrinsreglen til at vise, at funktionen er differentiabel. Såfremt grænseværdien af sekanthældningen $\frac{\Delta y}{h}$ for h->0 eksisterer, er funktionen differentiabel. Dvs. hvis du kan udføre det sidste trin i tretrinsreglen.

Svar #2
10. juni 2018 af Line19010

hvordan skal jeg gøre det? er helt blank :/

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. juni 2018 af Festino

Definitionsmængden for funktionen $f(x)=\sqrt{x}$ er $[0,\infty[$ , men funktionen er kun differentiabel i $]0,\infty[$ og altså ikke i $x=0$ . For at finde ud af, om funktionen er differentiabel i $x_0$ , skal du opskrive differenskvotienten $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ og undersøge om denne har en endelig grænseværdi for $h$ gående mod 0. Differenskvotienten er

$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}$ .

Dette kan omskrives ved at forlænge med $\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}$ og benytte, at der ifølge en af kvadratsætningerne gælder

$(\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0})(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0})=x_0+h-x_0=h$ ,

hvorfor

$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}$ .

Vi lader nu $h$ gå mod 0 og finder, at

$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\rightarrow\frac{1}{2\sqrt{x_0}}\text{ for }x\rightarrow 0$ .

Det viser, at $f$ er differentiabel i $x_0$ for $x_0>0$ med differentialkvotient $f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$ .

Svar #4
10. juni 2018 af Line19010

tusind tusind tak :)

Skriv et svar til: f(x)=kvadratrod x

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.