Matematik
Vækst i lineær, eksponentiel og potens- model
Jeg har følgende eksamensspørgsmål under differentialligninger:
1) Hvad karakteriserer væksten i modellerne y=ax+b, y=ba^x og y=bx^a?
2) Giv for hver af de tre modeller typiske eksempler inden for fx. dagligdagen, naturvidenskab, samfundsvidenskab eller økonomi.
Jeg har problemer med at karakterisere væksten for en potensmodel. Desuden savner jeg TYPISKE eksempler. Jeg har masser af eksempler, men der ikke mange, der er typiske.
Min besvarelse indtil videre:
For en lineær model er væksthastigheden konstant, idet en lineær model opfylder differentialligningen y'=a. Et eksempel fra økonomi er produktionsomkostninger som funktion af antal producerede enheder, idet væksthastigheden er lig med omkostningerne pr. produceret enhed.
For en eksponentiel model er væksthastigheden proportional med funktionsværdien, idet der gælder en differentialligning af formen y'=ky. Et eksempel fra økonomi er indestående på en fastforrentet bankkonto, idet væksten (renten) er proportional med indestående. Et eksempel fra fysik er mængden af et radioaktivt stof, idet væksthastigheden (henfaldet) er proportionalt med mængden af det tilbageværende stof.
Jeg ved, at potensmodellen y=bx^a opfylder differentialligningen y'=a*y/x (eller er det bedre at skrive y'*x=ay ???), men hvad siger det om væksthastigheden? Hvordan karakteriserer man en potensmodel ved hjælp af væksthastigheden?
Jeg håber, at der er nogen, der kan hjælpe.
Svar #1
17. juni 2018 af ringstedLC
Potensfunktionen vokser med Fy = Fxa. Det kan beskrives som: Når x vokser med en faktor (eller en fast procent), vokser y med faktoren gange a.
Eks.: Bremselængde (fysik), rumfang af kube som funktion af sidelængde.
Svar #2
17. juni 2018 af Bibo53
#1 Tak for svaret, selvom det ikke helt var det, jeg var ude efter. Jeg kan dog godt lide eksemplet med bremselængden, der er proportional med kvadratet på farten.
Det, jeg var ude efter, var en forklaring af en potensmodel, der er lige så intuitiv som følgende forklaring af en eksponentiel model: En eksponentiel model beskriver en variabel, hvor ændringen i variablen er proportional med variablen. Med differentialregning kan det skrives y'=ky.
Det er lidt forvirrende, at der er to anvendelser af ordet vækst, nemlig
1) Vækstformler som for en eksponentiel udvikling og
for en potensfunktion.
2) Væksthastigheden forstået som differentialkvotienten, der jo er grænseværdien af for
gående mod 0.
Jeg kan ikke umiddelbart se, hvordan jeg kommer fra en vækstformel til en differentialkvotient (undtagen for lineære funktioner, hvor det er trivielt).
Jeg forstår godt, at løsningen til differentialligningen y'=ky må være nogle interessante funktioner, men hvorfor er det interessant at løse differentialligningen , hvis det ikke lige var fordi, at vi kendte løsningen i forvejen? Mit problem er, at jeg forventes at karakterisere modellen y=bx^a ved hjælp af differentialligninger, og jeg kan skrive differentialligningen op, men jeg kan ikke forklare, hvad differentialligningen fortæller om potensmodellen.
Svar #3
17. juni 2018 af Bibo53
Det ser ikke ud til, at formeleditoren fungerer. Er der nogen, der kan forklare hvorfor, eller hvad man kan gøre i stedet?
Svar #4
17. juni 2018 af ringstedLC
Ja, den har vist været gal siden i fredags. Vi må klare os med "/" og () m.m.
Der er flere end de to anvendelser af ordet vækst, f.eks. logaritmisk, logistisk, og så selvfølgelig lineær.
Til dit problem; De sproglige forklaringer på de forskellige vækstmodeller er altså ikke lige simple. Find og brug den formulering til potensvækst, der passer dig bedst. Jeg kan godt lide "%-% vækst".
Skriv et svar til: Vækst i lineær, eksponentiel og potens- model
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.