Matematik

Side 2 - Talteori find alle positive heltal

Brugbart svar (1)

Svar #21
29. august 2018 af Festino

#20 Der gælder

$x^4+2bx^2+b^2=x^4+x^3+x^2+x+1$ ,

hvor $x$ og $b$ er hele tal. Ved at regne modulo $x^2$ får vi $b^2=x+1$ (idet $b^2<x^2$ ). Hvis vi herefter regner modulo $x^4$ på

$x^4+2bx^2=x^4+x^3+x^2$ ,

får vi $2bx^2=x^3+x^2$ , hvoraf $2b=x+1$ .

Svar #22
29. august 2018 af Slashdash

Når du i #19 skriver, at det er den eneste ikke-trivielle løsning, hvad mener du så med det? Hvilke andre løsninger kunne der eksistere, som ikke er trivielle?

Brugbart svar (0)

Svar #23
29. august 2018 af Festino

#22 I den oprindelige ligning $y^2(x-1)=x^5-1$ er $(1,y)$ (trivielt) en løsning for alle $y\in\Bbb{N}$ , idet man får nul på begge sider af lighedstegnet, når man sætter $x=1$ . I den omskrevne ligning $y^2=x^4+x^3+x^2+x+1$ er der kun løsningen $(x,y)=(3,11)$ , men det var ikke den ligning, vi blev bedt om at løse, og derfor skal vi også huske de løsninger, som jeg kalder trivielle.

Svar #24
29. august 2018 af Slashdash

#23

Jeg tror, at jeg forvirrede mig selv. Jeg læste det som om, at du hentød til, at der eksisterede flere ikke trivielle løsninger end (3,11), hvilket jeg ikke kunne få til at passe.

Brugbart svar (1)

Svar #25
29. august 2018 af swpply (Slettet)

Lemma: Lad m og n være heltal. Da gælder der at enten er

(1) $m^2 = n^2$

ellers er

(2) $\vert m^2 - n^2\vert \geq 2n-1$

Bevis. Antag at m ≠ n (for ellers er der intet at vise). Da er m² = (n - 1)² det tæteste "perfect square number" på n. Herfra følger lemmaet trivielt.

Sætning: Den Diofantiske ligning

(1) $y^2 = x^4+x^3+x^2+x+1$

har løsningerne

(2) $(x,y)\in\{(-1,2),(0,1),(3,11)\}$ .

Bevis. Begynd med at observere at (1) kan skrives som

(2) $b^2 = a^2 + 40x + 55$ ,

hvor

(3) $a = 8x^2 + 4x + 3 \qquad\text{og}\qquad b = 8y.$

Ifølge vores lemma, skal vi tjekke følgende to tilfælde:

• Tilfælde 1:

(4) $a^2 = b^2 \qquad\Longleftrightarrow\qquad 40x+55 = 0$

Denne ligning har klart ingen heltals løsninger. Altså løsnings mængden er tom.

• Tilfælde 2:

(5) $\vert a^2 - b^2\vert \geq 2a-1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \vert40x+55\vert \geq 16x^2 + 8x + 5$

Denne ligning har heltallige løsninger for -1≤ x ≤ 3. Altså skal vi blot tjekke for hvilke værdier af -1≤ x ≤ 3 giver at y² i ligning (1) er et "perfect square number".

Vi har hermed vist at

(6) $\{(x,y)\in\mathbb{Z}^2\mid y^2 = x^4+x^3+x^2+x+1\} = \{(-1,2),(0,1),(3,11)\}$ ,

hvilket var hvad vi skulle vise.

Svar #26
29. august 2018 af Slashdash

Interessant løsning i #25. Vil gerne lige være sikker på noget. 0-tallet i løsningen (0,1) tæller ikke som et positivt heltal, vel?.

Brugbart svar (0)

Svar #27
29. august 2018 af swpply (Slettet)

#26

Interessant løsning i #25. Vil gerne lige være sikker på noget. 0-tallet i løsningen (0,1) tæller ikke som et positivt heltal, vel?.

Nej, da mængden af postive heltal er den samme mængde som de naturligetal.

Mængden af naturlige tal inkluderet nul, kaldes oftes mængden af ikke negative heltal ;-)

Brugbart svar (0)

Svar #28
29. august 2018 af swpply (Slettet)

Du kan foresten generalisere ovenstående teknik til at løse samtlige Diofantiske ligninger på formen

$y^2 = \sum_{n=0}^Na_nx^n$ ,

så frem at N er lige og at a_N er et perfekt-kvadrattal.

Forrige 1 2 Næste

Skriv et svar til: Talteori find alle positive heltal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.