Matematik

vurdering af rækken 1/n^2

30. august 2018 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

For at vurdere

$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } }$

med en fejl ε er der to metoder. De kommer begge fra integralkriteret som er

$\int _ { N + 1 } ^ { \infty } f ( x ) d x \leq \sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } f ( n ) \leq \int _ { N + 1 } ^ { \infty } f ( x ) d x + f ( N + 1 )$

1. metode

Man kan bestemme antal led N ved uligheden

$\int _ { N + 1 } ^ { \infty } f ( x ) d x + f ( N + 1 ) \le \epsilon$

Jeg regner:

$\frac { 1 } { N + 1 } + \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 2 } }\le \epsilon$

Nu laver jeg følgende vurdering for at gøre det lidt nemmere for mig selv

$\frac { 1 } { N + 1 } + \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 2 } } \le \frac { 1 } { N + 1 } + \frac { 1 } { ( N + 1 ) } \frac{1}{2} \le \epsilon, \quad 1 \le N \implies \\ \frac { 1 } { N + 1 } + \frac { 1 } { ( N + 1 ) } \frac{1}{2} \le \epsilon$

Ved at isolerer epsilon har man

$N \le 149$

Da man approksimere med afsnitssummen har man så

$\sum_{n=1}^{N=149} \frac{1}{n^2} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

Afsnitsummen regner jeg med en computer.

Når jeg kigger på facit har man ikke lavet en vurdering som jeg har gjort det. I facit har man bare regnet:

$\frac { 1 } { N + 1 } + \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { N+2 } { (N + 1 )^2} = \frac { N+2 } { N^2+1+2N}=\frac { N+2 } { (N + 1 )^2} = \frac { N+2 } { N(N+2)+1} \le \frac { N+2 } { N(N+2)} = \frac { 1 } { N} \le \epsilon$ Så vidt jeg kan se ser er deres approksimation "finere" end mit. Mit er mere groft. Er det rigtigt forstået?

Min løsning er vel ikke forkert?

Svar #1
30. august 2018 af anonym000

Deres metoder giver 100 led mens min giver 149. Hvis det handler om at få mindst mulige led så er deres vil mere rigtig end min metode?

- - -

...............

Svar #2
30. august 2018 af anonym000

Der er også en anden ting som jeg ikke forstår. I facit står der

$\int _ { N + 1 } ^ { \infty } f ( x ) d x + f ( N + 1 ) = \frac { N + 2 } { N ( N + 2 ) + 1 } \le \frac { N + 2 } { N ( N + 2 ) } \le \frac{1}{N}$

Burde der ikke stå istf.

$\int _ { N + 1 } ^ { \infty } f ( x ) d x + f ( N + 1 ) = \frac { N + 2 } { N ( N + 2 ) + 1 } < \frac { N + 2 } { N ( N + 2 ) } = \frac{1}{N}$

????

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. august 2018 af peter lind

Din metode er rigtig, men bogens metode er bare bedre.

#2 jo

Skriv et svar til: vurdering af rækken 1/n^2

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.