Matematik

Integrale regning

01. september 2018 af Anonymlaks - Niveau: A-niveau

Hejsa. Hvordan finder jeg ud af om dette integrale er konvergent? Og skal jeg bruge grænseværdi i opgaven?

$\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{cosx} }{\mathrm{sin^2} x} dx.$

Brugbart svar (1)

Svar #1
01. september 2018 af swpply (Slettet)

Du kan evaluere integralet ved substituion.

$\int_0^1\frac{\cos(x)}{\big(\sin(x)\big)^2}dx = \int_{\sin(0)}^{\sin(1)}\frac{1}{t^2}dt$

hvor t = sin(x), hvilket nødvendigvis betyder at dt = cos(x)dx.

Prøv om du kan regne det sidte herfra.

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. september 2018 af peter lind

Find en stamfunkion til integralet og se hvad der sker når x -> 0. Tip til integrationen. Brug substitution t=sin(t) dt = cos(x)dx

Brugbart svar (1)

Svar #3
01. september 2018 af swpply (Slettet)

NB.

Hvis du vil gøre dette mere stringent, så ser du på integrallet

$I_a = \int_a^1\frac{\cos(x)}{\big(\sin(x)\big)^2}dx$

laver samme integration ved substitution som ovenfor, hvorved du bestemmer integralet. Derefter ser du på størrelsen

$\lim_{a\rightarrow0^-}I_a$

Altså hvad sker der i grænsen for a gående mod nul fra venstre. Hvis denne størrelse er endelig, så er integralet "konvergent" (integralet er et egentligt integral) (integralet er et egentligt integral) og tilsvarende hvis denne størrelse er uendelig er integralet altså "divergent" (integralet er et uegentligt integral).

Svar #4
01. september 2018 af Anonymlaks

$t=sin(x)^2$

$dt/dx=sin(2x)$

$dx=\tfrac{1}{sin(2x)}dt$

$\int_{0}^{1}\tfrac{1}{t^2}*\tfrac{1}{sin(2x)}dt=\int_{0}^{1}t^2dt=$ $\left[\frac{1}{3}t^3 \right ]^1_0=\frac{1}{3}*1^3-\frac{1}{3}*0^3=\frac{1}{3}$

Tror at jeg har løst integralet vha. integration ved substitution, men ved ikke helt had jeg skal nu?

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. september 2018 af swpply (Slettet)

#4
$t=sin(x)^2$

$dt/dx=sin(2x)$

$dx=\tfrac{1}{sin(2x)}dt$

$\int_{0}^{1}\tfrac{1}{t^2}*\tfrac{1}{sin(2x)}dt=\int_{0}^{1}t^2dt=$ $\left[\frac{1}{3}t^3 \right ]^1_0=\frac{1}{3}*1^3-\frac{1}{3}*0^3=\frac{1}{3}$

Tror at jeg har løst integralet vha. integration ved substitution, men ved ikke helt had jeg skal nu?

Husk at integrationsgrænserne ændre sig når ved substituion... Se evt. svar #1

Svar #6
01. september 2018 af Anonymlaks

Er det bare sinus der skal substitures ind, eller skal det være et tal? Og i så fald hvilke tal?

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. september 2018 af peter lind

t = sin(x) dt = cos(x)dx

∫cos(x)/sin²(x)dx = ∫1/t²dt

Svar #8
01. september 2018 af Anonymlaks

#7
t = sin(x) dt = cos(x)dx

∫cos(x)/sin²(x)dx = ∫1/t²dt

Det er sinus(x)^2. Jeg fik det til sin(2x) i CAS.

Brugbart svar (0)

Svar #9
01. september 2018 af guuoo2

Dit CAS regner forkert.

Svar #10
01. september 2018 af Anonymlaks

Wolframalpha giver mig 2sin(x) cos(x), når jeg differentierer sin(x)^2. Er dette korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #11
01. september 2018 af guuoo2

Du skal substitere den indre funktion som er sin(x) uden "i anden".
Den ydre funtion er x², og sammensat giver det sin(x)²

Brugbart svar (1)

Svar #12
02. september 2018 af swpply (Slettet)

Lad $I_a$ være integrallet defineret ved

$I_a = \int_0^1\frac{cos(x)}{\big(\sin(x)\big)^2}dx$ .

Dette integral kan løsses ved integration ved substitution hvor t = sin(x). Hvorfor vi får at

$\begin{align*} I_a &= \int_{\sin(a)}^{\sin(1)}\frac{dt}{t^2} \\ &=\bigg[-\frac{1}{t}\bigg]_{\sin(a)}^{\sin(1)} \\ &= \csc(a)-\csc(1) \end{align*}$ .

Og da csc(a) → +∞ for a → 0 fra venstre. Følger det at $I_a \rightarrow +\infty$ for a → 0 fra venstre, hvorfor at $I_0$ er et divergerende uegentligt integral.

Skriv et svar til: Integrale regning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.