Matematik

Funktionel ligning / functional equation

02. september 2018 af Slashdash - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP. Jeg er gået i stå ved følgende opgave om funktionelle ligninger:

Find alle funktioner f:\mathbb{R}+\rightarrow \mathbb{R} så atf(x*f(y)+f(x)))=2*f(x)+x*y

Kan ikke se hvor og hvordan jeg skal begynde. Enhver hjælp er værdsat.


Brugbart svar (0)

Svar #1
02. september 2018 af swpply (Slettet)

Hej,

Jeg er ked af at du ingen hjælp har kunne få til denne ellers interesante opgave. Jeg er også ked af at må fortælle dig at heler ikke jeg vil kunne give dig meget hjælp, da funktional ligninger er "beyond me".

Har du istedet prøvet at spørge nogen af de kloge hoveder hos https://math.stackexchange.com ?


Brugbart svar (0)

Svar #2
03. september 2018 af swpply (Slettet)

Nu har jeg sidet og snørklet lidt med ligningen her til morgen.

Jeg har indtil videre været istand til at vise to ting om løsningen til funktional ligningen.

(1) f:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R} er ikke surjektiv.

(2) f(x) = x +1 er en løsning.

Min mavefornemelse siger mig at (2) er den eneste løsning. Men jeg har stadig ikke været istand til at vise denne påstand.


Brugbart svar (0)

Svar #3
03. september 2018 af swpply (Slettet)

NB. Du viser påstand (2) ved en modstrid. Antag at f er surjektiv, hvorfor at der eksitere mindst et t > 0 således at f(t) = 0. Dette medføre at f(0) = tog da f(0) ikke er defineret er dette en modstrid.


Brugbart svar (0)

Svar #4
03. september 2018 af Brusebad

Sej opgave. Jeg har heller ikke lige noget svar, men jeg fandt dette indlæg som måske kan give lidt inspiration

https://www.quora.com/What-are-some-tricks-to-solving-functional-equations


Brugbart svar (0)

Svar #5
03. september 2018 af guuoo2

Ligningen:
   f(x f(y)+f(x))=2f(x)+xy

Betragt x som fastlagt positiv.
Højresiden er da injektiv mht y∈R+ og derfor er y\mapsto x\cdot f(y)+f(x) fra venstresiden også injektiv, da f skal være veldefineret. Da x er fastlagt følger at y\mapsto f(y) er injektiv.

Derfor har y\mapsto f(y) en venstreinvers f^{-1} som er tosiddet, hvis codomænet restringeres til værdimængden af f. Jeg ved ikke om man skal bruge den inverse til noget.


Skriv et svar til: Funktionel ligning / functional equation

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.