Hjælp til bevis omkring surjektivitet/ infektivitet

1. Lad y₁,...,y_n være elementerne i T.
Hvis f er surjektiv, så eksisterer der n ikke-tomme urbilleder .

Hvis to af urbillederne (det a'te og b'te) har ikke-tomt snit, der indeholder elementet Q,
så opstår modstriden .

Dvs. urbillederne er disjunkte og ikke-tomme, hvorfor deres forening indeholder mindst n elementer.
Urbilledernes forening er en delmængde af S og indeholder derfor højst m elementer.

Hvis foreningens antal elementer for N gælder dermed

som er falsk.

Kan jeg bruge samme fremgangsmåde i 2) og 3)?

Kan du eventuelt hjælpe med 2) og 3)? 

Ja du kan bruge nogenlunde samme fremgangsmåde.

2)

Lad x₁, ..., x_m være elementerne i S og antag for modstrid af f er injektiv. Da f er injektiv så er f(x_i) ≠ f(x_j) for i ≠ j hvorfor #{f(x₁), ..., f(x_m) } = ? og da {f(x₁), ..., f(x_m) } ⊆ T så er ? = #{f(x₁), ..., f(x_m) } ≤ #T = n.... Modstrid.

Det er meningen, at du skal sætte noget ind hvor jeg har skrevet ? og # foran en mængde skal forstås som antallet af elementer i en mængde ?

3)

For at vise en hvis og kun hvis kan du først antage injektivitet og vise at det giver surjektivitet og derefter gøre det omvendt, dvs. antage surjektivitet og vise at det giver injektivitet.

Dvs.
Antag f er injektivt
....
så f er surjektiv


Antag f er surjektiv
....
så f er injektiv

Her er det meningen, at du skal fylde ind hvor jeg har skrevet ...., og begge veje kan bevises ved, at finde inspiration i måden hvorpå 1 og 2 blev løst.
?

Jeg forstår sletter ikke, hvad jeg skla sætte ind....

En der kan hjælpe med, hvad jeg skal gøre i #4?

2.
Lad x₁,...,x_m være elementerne i S, og antag for modstrid at f er injektiv.

I m-tuplen , bestående af billederne for de m elementer i S, er der ingen gentagelser, da sådanne ville bryde med injektivitetsbetingelsen .
Dvs.  kan betrages som en mængde med præcis m elementer.

For alle i gælder , da f er veldefineret. Dermed er  pr. definition.
Dvs.  højst indeholder n elementer.

Dermed har vi , som er i modstrid med  .

jeg takker mange gange for hjælpen med de to forrige opgaver!!

Kan jeg bruge kardinalitet til at bevise den sidste?