Matematik

Vektorer og omskreven cirkel for en trekant

24. september 2018 af iliojacobsen - Niveau: A-niveau

Hejsa, jeg har brug for hjælp til en opgave. Det drejer sig om en opgave, der lyder:

Find koordinaterne til centrum for den omskrevne cirkel for trekant ABC.

Her er de relevante oplysninger til at løse opgaven:

Koordinater til A: (6,6,7)
Koordinater til B: (2,6,9)
Koordinater til C: (0,0,11)

Jeg har desuden beregnet sidelængderne a, b og c til hhv. 6,633, 9,381 og 4,472, derefter arealet af trekanten til at være 13,56 og til sidst radius for den omskrevne cirkel til at være 5,13. Jeg er dog nu gået i stå, da jeg ikke ved, hvordan man skal bruge vektorregning til at bestemme cirklens centrum. Er der nogen her, der har en idé om, hvordan man gør det?

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. september 2018 af PeterValberg

Du kunne fx benytte dig af, at skæringspunktet mellem
trekantens midtnormaler er centrum for den omskrevne cirkel.

Bestem midtpunktet på to af trekantens sider
Bestem en parameterfremstilling for midtnormalerne
gennem disse punkter og bestem skæringspunktet
for de fundne midtnormaler

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. september 2018 af PeterValberg

I forlængelse af #1

Indser nu, at det måske ikke er så nemt, som jeg gav udtryk for, sorry.
Vender tilbage, når jeg har fået en bedre idé :-)

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. september 2018 af Eksperimentalfysikeren

Find ligningerne for to af midtnormalerne i trekanten. Find så skæringspunktet ved at løse ligningssystemet.

Start med at finde midtpunktet af en af siderne, f.eks. AB. Kald det M. Vektoren $AB = \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ er normalvektor til midtnormalen. Derfor kan dens koordinater benyttes som koefficienter i en ligning for midtnormalen:

ax + by = c.

c findes ved at indsætte M's koordinater i ligningen.

Gentag for en anden side og løs ligningerne.

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. september 2018 af PeterValberg

#3
Det er tilsyneladende 3D koordinater,
Hvorfor der ikke kan benyttes normalvektorer.

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #5
24. september 2018 af Eksperimentalfysikeren

#4 Det har jeg overset.

Man kan dog stadig benytte normalvektorer. Det er så til planer. AB vil være normalvektor til den plan, der indeholder midtnormalen til AB og normalvektoren til den plan, som trekanten ligger i. Denne sidste har vektoren AB×BC som normalvektor.

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. september 2018 af guuoo2

Punkterne A(6,6,7), B(2,6,9), C(0,0,11) udspænder et plan, som indeholder trekanten, den omskrevne cirkel, og dermed også centrum P(x,y,z) for cirklen. AB×AC er en normalvektor for planet.

Centrum P skal være løsning til planligningen, dvs. der skal gælde:
$\\0=(AB\times AC)\cdot AP \\0=(\{-4,0,2\}\times \{-6,-6,4\})\cdot \{x-6,y-6,z-7\} \\0=\{12,4,24\}\cdot \{x-6,y-6,z-7\} \\0=12(x-6)+4(y-6)+24(z-7)$

Derudover skal P have en og samme afstand til A, B og C, da disse ligger på den omskrevne cirkel.
Afstandende er
$\\|AP|=\sqrt{(6-x)^2+(6-y)^2+(7-z)^2} \\|BP|=\sqrt{(2-x)^2+(6-y)^2+(9-z)^2} \\|CP|=\sqrt{(0-x)^2+(0-y)^2+(11-z)^2}$

og der skal altså gælde ud over planligningen.
Hvis opgaven er med hjælpemidler kan du bruge solve på ligningerne til at isolere x, y og z.

Jeg fik det til
$\small \small P(x,y,z)=\left(\frac{99}{23},\frac{33}{23},\frac{198}{23}\right)\approx (4.3043478,1.4347826,8.6086957)$

Afstanden fra centrum til hvert punkt er demed 5.1287764 i overensstemmelse med den radius du har fået.

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. september 2018 af mathon

$\small \begin{array}{|c|c|} \textup{vektor}&\textup{vektorl\ae ngde}\\ \hline \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -4\\0 \\ 2 \end{pmatrix}&2\sqrt{5}\\ \hline \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -6\\-6 \\ 4 \end{pmatrix}&2\sqrt{22} \end{array}$

$\small \begin {array}{|c|c|c|c|} \textup{vektorer}&\textup{vektorprodukt}&\textup{areal}&\sin\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right )\\ \hline \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -4\\0 \\ 2 \end{pmatrix}\quad\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -6\\-6 \\ 4 \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} 12\\4 \\ 24 \end{pmatrix}&2\sqrt{46}&0.6467\\ \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. september 2018 af mathon

$\small \sin\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right )=\frac{2T}{\left | \overrightarrow{AB} \right |\cdot \left | \overrightarrow{AC} \right |}=\frac{2\cdot 2\sqrt{46}}{2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{22}}=0.6467$

Svar #9
24. september 2018 af iliojacobsen

#6 det virkede med hensyn til at solve ligningerne til = radius, men hold da op en ligning man får, når man ikke bare kan skrive de afrundede tal ind, fordi man ellers får "false", men er nødt til at skrive formlerne ind til alle de beregnede resultater hahaha. Men tusind tak for hjælpen :-)

Svar #10
24. september 2018 af iliojacobsen

#8 hvad kan jeg bruge tallet 0,6467 til?

Brugbart svar (0)

Svar #11
24. september 2018 af mathon

$\small \small \begin{array}{|c|c|} \textup{vektor}&\textup{vektorl\ae ngde}\\ \hline \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -4\\0 \\ 2 \end{pmatrix}&2\sqrt{5}\\ \hline \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -6\\-6 \\ 4 \end{pmatrix}&2\sqrt{22} \\ \hline \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} -2\\-6 \\ 2 \end{pmatrix}&2\sqrt{11} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
24. september 2018 af mathon

$\small \frac{\left | \overrightarrow{BC} \right |}{\sin\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right )}=2R$

$\small \small R=\frac{ \left | \overrightarrow{BC} \right |}{2\cdot\sin\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right )}=20.514$

Brugbart svar (0)

Svar #13
24. september 2018 af mathon

$\small \textup{inds\ae ttes 3 gange i cirkelligningen:}$

$\small \left (x-a \right )^2+\left (y-b \right )^2+\left (z-c \right )^2=R^2$

$\small \textup{har du:}$
$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! solve(\left (x-a \right )^2+\left (y-b \right )^2+\left (z-c \right )^2=R^2\, and\, \left (x-a \right )^2+\left (y-b \right )^2+\left (z-c \right )^2=R^2\, and\, \left (x-a \right )^2+\left (y-b \right )^2+\left (z-c \right )^2=R^2,\{a,b,c\} )$

$\small \small \textup{kan a, b og c beregnes.}$

Brugbart svar (0)

Svar #14
24. september 2018 af Eksperimentalfysikeren

Det meste af opgaven kan regnes i hele tal. Hvis metoden i #5 benyttes slutter man af med tre lineære ligninger med tre ubekendte, hvor alle tal er hele. Først ved løsningen af disse ligninger er det nødvendigt at benytte brøker.

Under udregningerne kan der forekomme store tal, hvis man ikke tænker sig om. Man skal huske, at man altid kan dividere en ligning igennem med et tal. Det kan udnyttes til at reducere størrelsen af tallene, hvis man f.eks. har koefficienter og konstantled, der alle man divideres med samme heltal.

Brugbart svar (0)

Svar #15
24. september 2018 af mathon

korrektion:
$\small R=\frac{ \left | \overrightarrow{BC} \right |}{2\cdot\sin\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right )}=5.127$

Brugbart svar (0)

Svar #16
24. september 2018 af mathon

korrektion₂:
$\small R=\frac{ \left | \overrightarrow{BC} \right |}{2\cdot\sin\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right )}=5.129$

$\small \textbf{\textsl{eller}}$
$\small R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4T}$

$\small R=\frac{2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{22}\cdot 2\sqrt{11}}{4\cdot 2\sqrt{46}}=5.129$

Brugbart svar (0)

Svar #17
24. september 2018 af guuoo2

#9
#6 det virkede med hensyn til at solve ligningerne til = radius, men hold da op en ligning man får, når man ikke bare kan skrive de afrundede tal ind, fordi man ellers får "false", men er nødt til at skrive formlerne ind til alle de beregnede resultater hahaha. Men tusind tak for hjælpen :-)

Hvis du bruger solve bør du ikke skrive =radius. Du får false, fordi ligningerne kun har en løsning, når du skriver radius helt præcist rigtigt.

Centrums koordinater kan bestemmes som løsningen til ligningerne |AP| = |BP| = |CP| og (AB×AC)·AP = 0 uden kendskab til radius. Når centrum er bestemt, kan man beregne radius ved r = |AP| = |BP| = |CP|.

Skriv et svar til: Vektorer og omskreven cirkel for en trekant

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.