Matematik

Integration af ligning

25. oktober 2018 af sansas - Niveau: Universitet/Videregående

Spørgmålet er vedhæftet her: https://imgur.com/a/gksfnw1

Hvordan skal fgl. opgave løses? Jeg har virkelig svært ved at komme i gang med den.

Brugbart svar (1)

Svar #1
26. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Noyes-Whitney ligningen

$\begin{align*} \frac{dC_b}{dt} &= k_{NW}(C_s - C_b) \\ C_b(0) &= 0 \end{align*}$

er en 1. ordens inhomogen og lineær ordinær differentialligning (ODE). Du kan løse den på mindst tre forskellige måder (hvor metode 1 og 2 ikke er så forskellige endda). Vi begynder med at omskrive Noyes-Whitney ligningen på standard form for lineær ODE's

$\begin{align*} \frac{dC_b}{dt} + k_{NW}C_b &= k_{NW}C_s \\ \end{align*}$

Metode 1 (panserformlen):

$\begin{align*} C_b(t) &= e^{-k_{NW}t}\bigg(\int_0^t e^{k_{NW}x}k_{NW}C_s\,dx + K \bigg) \\ &= k_{NW}C_se^{-k_{NW}t}\int_0^t e^{k_{NW}x}\,dx + Ke^{-k_{NW}t} \\ &= C_se^{-k_{NW}t} \big(e^{k_{NW}t} - 1\big) + Ke^{-k_{NW}t} \\ &= C_s\big(1-e^{-k_{NW}t}\big) + Ke^{-k_{NW}t} \end{align*}$

Brug nu begyndelsesbetingelsen til at bestemme $K = 0$ , hvorfor at

$C_b(t) = C_s\big(1-e^{-k_{NW}t}\big).$

Metode 2:

$\begin{align*} \frac{dC_b}{dt} + k_{NW}C_b = k_{NW}C_s &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{d}{dt}\Big(C_b\,e^{k_{NW}t}\Big) = k_{NW}C_s\,e^{k_{NW}t} \\ &\quad\Leftrightarrow\quad \int_0^t\frac{d}{dx}\Big(C_b(x)\,e^{k_{NW}x}\Big)\,dx = \int_0^tk_{NW}C_s\,e^{k_{NW}x}\,dx \\ &\quad\Leftrightarrow\quad C_b(t)e^{k_{NW}t} - C_b(0) = C_s\big(e^{k_{NW}t}-1\big) \\ &\quad\Leftrightarrow\quad C_b(t) = C_s\big(1 - e^{-k_{NW}t}\big) \end{align*}$

Metode 3:

Den til Noyes-Whitney ligningen hørende homogene ligning er

$\begin{align*} \frac{dC_{b,h}}{dt} + k_{NW}C_{b,h} = 0 &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{dC_{b,h}}{dt} =- k_{NW}C_{b,h} \end{align*}$

Dette er "exponential decay" ligningen og den har den kendte løsning

$\begin{align*} C_{b,h}(t) = Ke^{-k_{NW}t} \end{align*}$ .

VI mangler derfor nu kun at gætte en partikulær løsning til Noyes-Whitney ligningen. Et oplagt gæt vi vil være

$\begin{align*} C_{b,p}(t) = A \end{align*}$

hvor $A$ er en konstant. Og rigtignok, vi ser at vores gæt på en partikulær løsning også er en løsning, idet

$\begin{align*} \frac{dC_{b,p}}{dt} + k_{NW}C_{b,p} = k_{NW}C_s &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{dA}{dt} + k_{NW}A = k_{NW}C_s \\ &\quad\Leftrightarrow\quad k_{NW}A = k_{NW}C_s \\ &\quad\Leftrightarrow\quad A = C_s \end{align*}$

Hvorfor at den fuldstændige løsning til Noyes-Whitney ligningen er

$\begin{align*} C_b(t) &= C_{b,p}(t) + C_{b,h}(t) \\ &=C_s + Ke^{-k_{NW}t} \end{align*}$

Og bruger vi nu begyndelsesbetingelsen til at bestemme $\begin{align*} K \end{align*}$ , så finder vi at $\begin{align*} K = -C_s \end{align*}$ hvorfor at

$\begin{align*} C_b(t) = C_s\big(1-e^{-k_{NW}t}\big) \end{align*}$

Svar #2
28. oktober 2018 af sansas

Tusind tak, Swipply!!! Hvilken metode synes du er bedst at have styr på til evt. fremtidige opgaver?

Brugbart svar (1)

Svar #3
28. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Panserformlen er en konsekvens af metoden bag metode 2. Jeg vil derfor personligt anbefale dig at fokusere på både metode 2 og metode 3.

Skriv et svar til: Integration af ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.