Matematik

Tricky opgave

06. november 2018 af Jakobeee (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP

Jeg er gået i stå ved denne opgave (vedhæftet), håber der er en, der kan hjælpe

Jakob

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-11-06 kl. 16.14.16.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. november 2018 af SådanDa

Hvor er du gået i stå? Hvad har du forsøgt?

Svar #2
06. november 2018 af Jakobeee (Slettet)

Fedt du kan hjælpe :] Jeg er med på, hvornår et estimat er unbiased, når E[θ "hat"] - θ) = 0

eller E[θ "hat"] = θ

Så jeg skal vel finde E[θ "hat"] og θ har jeg vel far opgaven: Hvis jeg trækker disse fra hinanden, får jeg formentligt 0?

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. november 2018 af SådanDa

Ja, din estimator hedder her $\hat{\lambda}$ i stedet for $\hat{\theta}$ , så du kunne jo forsøge at finde $\mathbb{E}[\hat{\lambda}]$ .

Svar #4
06. november 2018 af Jakobeee (Slettet)

For at finde E[Lambda "Hat"] behøver jeg formlen E[X] = ∫ x*f(x) dx

Men hvad bliver grænserne i dette tilfælde?

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. november 2018 af SådanDa

Grænserne, når du regner middelværdier, er hele supporten, men for at du kan gøre det direkte skal du kende fordelingen af $\hat{\lambda}$ , og det er måske ikke så oplagt. Jeg vil anbefale dig at skrive det op som du skal regne:

$\mathbb{E}[\hat{\lambda}]=\mathbb{E}[\frac{n-1}{n}\frac{1}{\bar{X}}]=(n-1)\mathbb{E}[\frac{1}{n}\frac{1}{\bar{X}}]=(n-1)\mathbb{E}[\frac{1}{n}\frac{1}{\frac{X_1+...+X_n}{n}}]$

$=(n-1)\mathbb{E}[\frac{1}{X_1+...+X_n}]$ , hvordan er den sum i nævneren fordelt?

Svar #6
06. november 2018 af Jakobeee (Slettet)

Den må være eksponentiel fordelt (jf. opgaveoplysningerne)

Brugbart svar (0)

Svar #7
06. november 2018 af SådanDa

De enkelte X'er er eksponentielt fordelt, men hvordan er summen af dem fordelt? (hint, kig i dit hint i opgaven!)

Svar #8
06. november 2018 af Jakobeee (Slettet)

Svar #9
06. november 2018 af Jakobeee (Slettet)

Jeg har også tænkt på den var gammafordelte, men det gav ikke helt mening :]

Brugbart svar (1)

Svar #10
06. november 2018 af SådanDa

Hvorfor ikke? :) X'erne er jo uafhængige og eksponentielfordelt, så er summen gammafordelt.

Men altså hvis vi siger Y = X₁+...+X_n, så er Y gammafordelt med de rigtige parametre, og så kan man bruge

$\mathbb{E}[\frac{1}{Y}]=\int\frac{1}{y}f(y)dy$ , hvor f er tæthedsfunktionen for den rigtige gammafordeling!

Svar #11
06. november 2018 af Jakobeee (Slettet)

Men hvordan vil du integere 1/y*[pdf for gammafordeling] - Der indgår forholdsvis mange variabler? :]

Brugbart svar (0)

Svar #12
06. november 2018 af oppenede

#11 y er den eneste variabel!

Svar #13
06. november 2018 af Jakobeee (Slettet)

#12 Vil du se hvordan?

Brugbart svar (1)

Svar #14
06. november 2018 af SådanDa

Jeg ville ikke integrere den, jeg ville igen skrive det op og se om det ikke gav lidt mere indsigt:

$\int \frac{1}{y} \frac{1}{\Gamma(n)(\lambda^{-1})^n}y^{n-1}e^{-\frac{y}{\lambda^{-1}}}\ dy=\int \frac{1}{(n-1)!\lambda^{-n}}y^{n-2}e^{-\frac{y}{\lambda^{-1}}}\ dy$

$\int \frac{1}{(n-1)(n-2)!\lambda^{-1}\lambda^{-(n-1)}}y^{n-2}e^{-\frac{y}{\lambda^{-1}}}\ dy=\frac{\lambda}{n-1}\int \frac{1}{(n-2)!\lambda^{-(n-1)}}y^{n-2}e^{-\frac{y}{\lambda^{-1}}}\ dy$ $=\frac{\lambda}{n-1}\int \frac{1}{\Gamma(n-1)(\lambda^{-1})^{n-1}}y^{n-2}e^{-\frac{y}{\lambda^{-1}}}\ dy$ , hvad giver det her integral?

Svar #15
06. november 2018 af Jakobeee (Slettet)

Brugbart svar (1)

Svar #16
06. november 2018 af SådanDa

Hvis du kigger på det der står under intgraltegnet, så ser det måske bekendt ud? Det er jo lige nøjagtig tæthedsfunktionen for en gammafordeling med parametre n-1 og λ^-1, så integralet giver blot 1. Hvis vi sætter det hele sammen har vi så:

$\mathbb{E}[\hat{\lambda}]=(n-1)\frac{\lambda}{n-1}=\lambda$ .

Svar #17
06. november 2018 af Jakobeee (Slettet)

Svar #18
06. november 2018 af Jakobeee (Slettet)

Ah, ok. Jeg takker mange for hjælpen, det har været til en stor hjælp! Jeg kigger det hele igennem!

Skriv et svar til: Tricky opgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.