Hvad betyder forskriften (h(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d) i et tredjegradspolynomium?

Prøv at tegne den i Geogebra. Så kan du regulere på koefficienterne og se, hvad der så sker.

Vi kan prøve at konstruere en 3.gradsfunktion, som er symmetrisk om et punkt (p , q) .
Lad os vælge funktionen
f (x) = x³
Vi ser straks, at    f (- x) = - f (x)
f kaldes, med den egenskab, en ulige funktion.
Symmetripunktet er (0 , 0) , som vi nu vil parallelforskyde efter vektoren .
f (x) afbildes da i funktionen f₁ (x) med forskriften
f₁ (x) = (x - p)³ + q  =  x³ - 3px² + 3p²x + (q - p³)
Vi har derfor en generel symmetrisk 3.gradsfunktion omkring punktet (p , q) , hvorom gælder:
a = 1
b = - 3p
c = 3p²
d = q - p³ 

 

Et anderledes forløb, men også symmetrisk om (0 , 0) , har vi af 3.gradsfunktionen
f (x) = x³ - x
Som øvelse kan du (# 0) prøve at parallelforskyde efter samme mønster som i # 2 og se, hvad koefficienterne så kommer til at hedde.

Vi skal også have funktionen
    f (x) = x³ + x
med, og som også er symmetrisk omkring (0 , 0) .
Vi gør her lidt status:
  Funktionen i # 4 har ingen vandret tangent,
  funktionen i # 2 har én vandret tangent og
  funktionen i # 3 har to vandrette tangenter.
Det gælder naturligvis også, når funktionerne parallelforskydes.
  # 4 og # 2 har én reel løsning, # 3 har enten en, to eller tre reelle løsninger.