funktioner uden en graf

Der er funktioner, hvor det ikke kan lade sig gøre at beskrive dem fuldstændigt med en graf. Et meget simpelt eksempel er funktionen:

Grafen ville bestå af punkter med y værdierne 0 og 1, men med så tætliggende x-værdier, at tegningen smelter sammen til to vandrette linier. Man kan simpelthen i  "tegne" hullerne i de to linier. F.eks. er der et "hul" i y=1-linien ved x=√2.

Der findes funktioner, der er mere komplicerede, og hvor man en graf ville blive så kompliceret, at der er principielt umuligt at tegne den.

Mange tak! Nu giver det mening 

Hej igen. Kan dette eksempel forklares mere matematisk altså mere formelt ? Har ret svært ved det nemlig :) 

Der det problem med eksemplet her, at man skal definere, hvad det til sige, at en funktion har en graf, eller sagt på en anden måde, hvordan teger man en graf. Man kan godt lave en tegning, der har noget med sagen at gøre. Alle par (x,f(x)) ligger på en af linierne y=0 og y=1, men hvordan tagner man "hullerne" i linierne, f.eks skal punktet (1,0) ikke med i linien y=0, fordi 1 er et rationalt tal.

Man kan jo definere, at en funktion har en graf, hvis og kun hvis den er begrænset og kontinuert bortset fra endelig mange x-værdier. f(x) er ikke kontinuert for nogen x-værdi, så den opfylder ikke kravet.

Tak!

Du nævnte i #1 at der eksisterede funktioner der er så komplicerede og hvor grafen vil være så kompliceret at tegne, at det i princippet er umuligt at tegne. Har du et eksempel på dette?

Man kan tænke sig et forløb af en graf, der svinger omkring O, og som ikke er defineret heri, og hvor svingningerne bliver tættere og amplituden mindre, jo mere tæt på O den ligger.
Nu skal man jo generelt tænke på, at når vi skal afbilde en funktions forløb, sker det med en vis stregtykkelse, om det er en nyspidset blyant eller computerens streg, så har den teoretiske graf ingen udstrækning, så alt kan lade sig gøre i teorien, hvad dét angår.